Fiche de cours
Relation de Chasles.
Convention
\(\displaystyle\int_{a}^a f(t)dt=0 \) et
\(\displaystyle\int_{a}^b f(t)dt= - \int_{b}^a f(t)dt\)
Propriété
Soit \(f \) une fonction continue sur un intervalle $I$. Pour tous réels $a$, $b$, $c$ de l'intervalle $I$, on a :
\(\displaystyle\int_{a}^c f(t)dt +\int_{c}^b f(t)dt =\int_{a}^b f(t)dt\)
Exemple
Réduire les expressions suivantes :
1. \(I = \displaystyle\int_{1}^2 (x^2 - 1) dx + \int_{1}^2 dx + \int_{2}^3 x^2 dx\)
2. \(J = \displaystyle\int_{0}^1 \frac{1}{1 + x^2} dx + \int_{-2}^0 \frac{1}{1 + x^2} dx \)
Correction
1. Etape 1 : On utilise la linéarité de l'intégrale pour regrouper les intégrales de mêmes bornes.
\(I = \displaystyle\int_{1}^2 (x^2 - 1+1) dx + \int_{2}^3 x^2 dx\)
\(I = \displaystyle\int_{1}^2 x^2 dx + \int_{2}^3 x^2 dx\)
Etape 2 : Les fonctions sont les mêmes et les bornes se suivent, on utilise la relation de Chasles.
\(I = \displaystyle\int_{1}^2 x^2 dx + \int_{2}^3 x^2 dx\)
\(I = \displaystyle\int_{1}^3 x^2 dx \)
2. Etape 1 : La fonction $g(x)=\dfrac{1}{1 + x^2}$ est définie et continue sur $[-2;1]$.
On place la seconde intégrale devant la première pou