Fiche de cours
Fonctions composées
Soit $u(x)$ une fonction continue et dérivable sur $\mathbb{R}$, la fonction $f(x)=e^{u(x)}$ a pour dérivée
$f'(x)=u'(x)e^{u(x)}$.
Exemple
Soit $g$ la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par :
$g(x)=e^{(-3x^2+x)}$.
Déterminons sa dérivée.
On pose : $u(x)= -3x^2+x$.
On a donc : $u'(x)=-6x+1$.
On a : $g'(x)= u'(x)e^{u(x)}$.
Soit : $g'(x)=(-6x+1)e^{(-3x^2+x)}$.
Autre exemple
Etudier les variations de la fonction $f(x)$= $\displaystyle \frac{3e^x}{e^{2x}+1}$.
étape 1 : On cherche toujours l'ensemble de définition d'une fonction.
$Df= \mathbb{R} $ car $e^{2x}$ ne peut être égal à $-1$, c'est toujours positif.
étape 2 : On cherche les limites aux bornes de l'ensemble de définition : en $+\infty$ et en $-\infty$.
On factorise par $e^x$ et on simplifie pour lever l'indétermination.
$\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty}f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow +\infty}\frac{e^x\times 3}{e^{x}(e^{x}+\displaystyle\frac{1}{e^{x}})}=\lim \limits_{x \rightarrow +\infty}\frac{3}{e^{x}+\displaystyle\frac{1}{e^{x}}}=0$ car
$\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty}e^x+\frac{1}{e^x}