Formules d'Al. Kashi

Formules d'Al-Kashi

I) Préambule

Dans le triangle rectangle, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour calculer des longueurs et la trigonométrie pour calculer des longueurs et des angles. 

Cependant, ces outils ne peuvent être utilisés uniquement dans un triangle rectangle. 

II) Formules d'Al-Kashi

Théorème :

Soit $ABC$ un triangle quelconque, on note :

$AB = c$ car $[AB]$ est le côté opposé au sommet $C$.

$CA = b$, $BC = a$, $\widehat{BAC} = \alpha$, $\widehat{ABC} = \beta$, $\widehat{ACB} = \gamma$

On a les trois égalités suivantes :

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\alpha)$

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos(\beta)$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma)$

III) Application

Soit $ABC$ un triangle dont certaines dimensions ont été données ci-dessous.