L'énoncé
Répondre aux questions suivantes, une seule bonne réponse par question.
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Question 1
On lance un dé cubique $100$ fois. On obtient $65$ fois une valeur paire.
Peut-on penser que le dé est truqué ?
Oui
Non.
L'intervalle de fluctuation au seuil de $95$% est donné par : $I=\left[p-\dfrac{1}{\sqrt n}, p+\dfrac{1}{\sqrt n}\right]$.
On a : $p=0.5$ car il y a une chance sur deux d'avoir un résultat pair et $n=100$
$0.2\leq p\leq 0.8$ et $n\geq25$ donc l'intervalle de fluctuation au seuil de $95$% est donné par :
$I=\left[p-\dfrac{1}{\sqrt n}; p+\dfrac{1}{\sqrt n}\right]$
$I=\left[0.5-\dfrac{1}{\sqrt {100}}; 0.5+\dfrac{1}{\sqrt {100}}\right] = [0.4, 0.6]$.
Or la fréquence d'apparition est $f_{app}=0.65$ et ainsi $f_{app} \notin I $.
On peut donc penser que le dé est truqué.
Question 2
On lance une pièce équilibrée $10000$ fois. On cherche le nombre de piles obtenus.
Déterminer l'intervalle de fluctuation au seuil de $95$% de cette expérience.
$I=[0.4; 0.6]$
$I=[0.49; 0.51]$
$I=[0.495; 0.505]$
$I=[0.45; 0.55]$
La pièce est équilibrée donc $p=0.5$.
$p=0.5$ et $n=10000$
$0.2\leq p\leq 0.8$ et $n\geq25$
L'intervalle de fluctuation au seuil de $95$% est :
$I=\left[p-\dfrac{1}{\sqrt n}, p+\dfrac{1}{\sqrt n}\right]$
$I=\left[0.5-\dfrac{1}{\sqrt{10000}}, 0.5+\dfrac{1}{\sqrt{10000}}\right]$
$I=[0.49, 0.51]$
Question 3
On pioche une boule avec remise dans une urne, contenant $30$ boules rouges et $40$ boules bleues.
Le joueur obtient en tout $37$ fois une boule rouge sur les $54$ tirées.
Peut-on penser que le tireur a tiré de façon aléatoire les boules ?
Le tireur a tiré les boules de façon aléatoire.
Le tireur n'a pas tiré les boules de façon aléatoire.
La probabilité de tirer une boule rouge est $P=\dfrac{30}{70}=0.428571$.
La fréquence d'apparition est $f_{app}=0.685185$
L'intervalle de fluctuation au seuil de $95$% est :
$I=\left[p-\dfrac{1}{\sqrt n}, p+\dfrac{1}{\sqrt n}\right]$
La probabilité de tirer une boule rouge est $P=\dfrac{30}{70}\approx 0.428571$.
Or la fréquence d'apparition est $f_{app}=0.685185$.
$0.2\leq p\leq 0.8$ et $n\geq25$
L'intervalle de fluctuation au seuil de $95$% est :
$I=\left[p-\dfrac{1}{\sqrt n}, p+\dfrac{1}{\sqrt n}\right]$
$I=\left[0.428571-\dfrac{1}{\sqrt {54}}, 0.428571+\dfrac{1}{\sqrt {54}}\right]$
$I=[0.292 ;0.564654]$.
On a $f_{app}\notin I$.
Donc il est fort probable que le joueur n'ait pas tiré par hasard les boules.
Question 4
Donner l'intervalle de fluctuation au seuil de $95$% d'une expérience de Bernoulli de paramètre $p=0.62$ que l'on répète $20$ fois.
$I=[0.292 ;0.564654]$
$I=[0.396393 ;0.8436]$
On ne peut pas le déterminer.
$I=[0.495 ;0.725]$
On ne peut pas le donner car le nombre de répétition n'est pas suffisant pour appliquer la loi faible des grands nombres.
Il faut que $n\geq 25$ ce qui n'est pas le cas ici
Question 5
Donner l'intervalle de fluctuation d'une expérience de Bernoulli de paramètre $p=0.58$ que l'on répète $200$ fois.
$I=[ 0.509;0.65 ]$.
$I=[ 0.409;0.705 ]$.
$I=[ 0.575;0.585 ]$.
$I=[ 0.475;0.685 ]$.
$0.2\leq p\leq 0.8$ et $n\geq25$
$I=\left[p-\dfrac{1}{\sqrt n}; p+\dfrac{1}{\sqrt n}\right]$
$I=\left[0.58-\dfrac{1}{\sqrt {200}}; 0.58+\dfrac{1}{\sqrt {200}}\right]$
$I=[ 0.509;0.65 ]$