L'énoncé
Cet exercice est un QCM. Cocher la ou les bonnes réponses.
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Question 1
\(D\) est une droite dont l'équation s'écrit \(2x+5y+c=0\) : (avec \(c\) un réel quelconque).
Un vecteur directeur de \(D\) est \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix}\)
Un vecteur directeur de \(D\) est \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1 \\ -0,5 \end{pmatrix}\)
\(D\) passe par le point \(A\left(\dfrac{1}{3} ;\dfrac{1}{2}\right) \) si et seulement si on a \(c=-\dfrac{19}{16}\).
Quelque soit la valeur de \(c\), \(D\) ne passe pas par l’origine du repère.
On peut avec la formule de cours prendre comme \(\overrightarrow{x}\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix}\) vecteur directeur. Les vecteurs proposés sont-ils colinéaires à \(\overrightarrow{x}\) ?
Le point \(A\) appartient à \(D\) si et seulement si on a \(2x_A+5y_A+c=0\) : en remplaçant \(x_A\) et \(y_A\) par leur valeur,on pourra trouver l’inconnue \(c\).
La droite passe par l’origine si et seulement si le couple \((0 ;0)\) vérifie l’équation de la droite : peut-on alors trouver \(c \)?
La formule \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}\) fournit un vecteur directeur : il faut ensuite voir si les vecteurs proposés lui sont colinéaires.
Question 2
La droite passant par le point \(A (2 ;3)\) et de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 4 \\ -2\end{pmatrix}\) possède pour équation :
\(-4x+2y+2=0\)
\(x+2y-8=0\)
\( -2x+y+1=0\)
\(x+y-4=0\)
Toutes ces droites passent par \(A \) (à vérifier)… Il faut trouver celles qui ont pour vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 4 \\ -2\end{pmatrix}\) (ou un vecteur directeur colinéaire à \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 4 \\ -2\end{pmatrix}\) cela devrait permettre d’écarter quelques propositions.
Pour la proposition 1, on peut prendre comme vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -24 \\ -4\end{pmatrix}\) Est-il colinéaire à \(\overrightarrow{u}\) ? Même technique pour les autres propositions…
Ici la méthode choisie consiste à partir des réponses proposées et à écarter les mauvaises. Mais on peut aussi décider de chercher une équation de la droite demandée, puis de comparer la réponse aux propositions.
Voici une rédaction possible de recherche d’une équation de la droite :
Comme un vecteur directeur est \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 4 \\ -2\end{pmatrix}\) , on prend \(–b=4\) et \(a=-2\).
Une équation de la droite s’écrit : \(-2x-4y+c=0\)
\(A\) étant sur la droite, il vient : \(-4-12+c=0 \) et \(c=16\) .
On obtient comme équation : \(-2x-4y+16=0\), ou encore \(x+2y-8=0\) .
Sur la copie, faire attention à toujours parler d’une équation cartésienne ou d’un vecteur directeur (et pas LE) : une droite possède en effet une infinité d’équations.
Question 3
Soit \(A\) et \(B\) les points de coordonnées \(A (5 ;-9)\) et \(B(-3 ;-5)\).
Pour déterminer une équation cartésienne de la droite \((AB)\), on peut suivre les étapes suivantes :
Étape 1 : calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\), qui est un vecteur directeur de \((AB)\).
Étape 2 : en déduire que l’on peut choisir \(a=4\) et \(b=8\)
Étape 3 : calculer \(c\) en utilisant le fait que les coordonnées de \(A\) doivent vérifier que \(4x_A+8y_A+c=0\)
Étape 1 : calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\), qui est un vecteur directeur de \((AB)\).
Étape 2 : en déduire que l’on peut choisir \(a=1\) et \(b=2\)
Étape 3 : calculer \(c\) en utilisant le fait que les coordonnées de \(A\) doivent vérifier que \(x_A+2y_A+c=0\)
Étape 1 : calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\), qui est un vecteur directeur de \((AB)\).
Étape 2 : en déduire que l’on peut choisir \(a=1\) et \(b=2\)
Étape 3 : calculer \(c\) en utilisant le fait que les coordonnées de \(B\) doivent vérifier que \(x_B+2y_B+c=0\)
Étape 1 : calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\), qui est un vecteur directeur de \((AB)\).
Étape 2 : affirmer que, pour \(M(x ;y)\) un point du plan, on a que : \(M(x ;y)\in (AB) \Leftrightarrow \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{AB} \) sont colinéaires.
Étape 3 : en déduire que \(-8(y+9)=4(x-5\) )puis mettre sous la forme \(ax+by+c=0\) si et seulement si \( \overrightarrow{AM} \) et \( \overrightarrow{AB} \) sont colinéaires.
Pour trouver l’équation sous la forme \(ax+by+c=0\), on peut commencer par trouver \(a\) et \(b\), grâce à un vecteur directeur : lequel ?
\(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -8 \\ 4 \end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de \((AB)\) : Quelles valeurs pour \(a\) et \(b\) peut-on choisir ?
Il ne reste que \(c\) à calculer : pour cela, on utilise un point connu de la droite…
Il faut maîtriser au moins une méthode pour trouver une équation cartésienne de droite.
Pour la proposition 1 :
Étape 1 : . C’est un vecteur directeur de \((AB)\). Donc, on peut choisir : \(–b=-8\), soit \(b=8\) et \(a=4\).
Étape 2 : On obtient donc une écriture de la forme \(4x+8y+c=0\) , et on cherche à calculer \(c\) : pour cela, on utilise le fait que \(A\) ou \( B\) appartiennent à la droite \((AB)\) :
il suffit de remplacer les coordonnées dans l’écriture ci-dessus : par exemple, \( 4x_A+8y_A+c=0\) .
Fais le, on obtient \(20-72+c=0\), d’où \(c =52\).
On a donc entièrement déterminé une équation de \((AB)\) : \(4x+8y+52=0\)
En divisant par \(4\) : \(x+2y+13=0\)
Pour les propositions 2 et 3 :
C’est la même démarche, sauf que l’on change de vecteurs.
Question 4
Soit \(D\) la droite d'équation \(8x-2y+5=0\). Parmi ces droites, lesquelles sont parallèles à \(D\) ?
\(8x-2y+1=0\)
\(-4x+y+2=0 \)
\(-8x-2y+5=0 \)
\(4x+2y+3=0 \)
À quelle condition sur les vecteurs directeurs deux droites sont-elles parallèles ?
Pour savoir si les droites sont parallèles, il faut voir si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
Un vecteur directeur de \(D\) est \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2\\ 8 \end{pmatrix}\) ou encore \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}\) : seules les deux premières équations ont des vecteurs directeurs colinéaires à \(\overrightarrow{u}\) ou \(\overrightarrow{v}\).
Tout est basé sur la colinéarité des vecteurs directeurs (attention cependant aux erreurs de signes).
Pour le parallélisme des droites, seuls comptent les valeurs de \(a\) et de \(b\) (la valeur de \(c\), elle, n'intervient pas) : lorsque l’on a deux équations cartésiennes de droites \(ax+by+c=0\) et \(a’x+b’y+c’=0\), ces droites sont parallèles ssi \((a,b)\) et \((a’,b’)\) sont proportionnels.
Question 5
On considère les points \(A(3 ;-5)\), \(B(5 ;1)\) et \(C(-1 ;2)\). Une équation cartésienne de la parallèle à \((AB)\) passant par \(C\) (cette droite sera notée \(d\)) est :
\(-3x+y+14=0\)
\(-3x+y-5=0\)
\(3x-y-5=0\)
\(6x-2y-10=0\)
Chercher un vecteur directeur de \(d\). On peut s’aider d’une figure…
\(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de \(d\), ce qui permet de donner \(a\) et \(b\).
C’est une question assez classique : on utilise que toute droite parallèle à \((AB)\) admet comme vecteur directeur \( \overrightarrow{AB}\).
\(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de \(d\) (puisque \(d \ // \ (AB)\)).
On peut prendre \(b=-2\) et \(a=6\) : on cherche une équation du type \(6x-2y+c=0\)
\(C\) appartient à \(d\) se traduit par \(6x_C+2y_C+c=0\) soit \(-6-4+c=0\) et \(c=10\).
Une équation de \(d\) est \(6x-2y+10=0\) ou encore \(3x-y+5=0\) : cela équivaut à \(-3x+y-5=0\). La seule réponse correcte est la proposition 2.
Si $c=0$, la droite passe par l'origine.