L'énoncé
Cet exercice est un QCM. Coche la ou les bonnes réponses.
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Question 1
On note \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} a \\ 3 \end{pmatrix}\)et \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 2 \\ a+1 \end{pmatrix}\).
Les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) proposés sont colinéaires si et seulement si :
\(a=1\)
\(a=2\)
\(a=2\) ou \(a=-3\)
\(a=1\) ou \(a=-3\)
\(a\) est solution de \(a^2+a-6+0\), et normalement, vous n'avez pas oublié les formules sur le second degré…
Le discriminant vaut \(25\) et les solutions sont…
Le discriminant vaut \(25\) et les solutions sont…
\(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} a \\ 3 \end{pmatrix}\)et \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 2 \\ a+1 \end{pmatrix}\) sont colinéaires \(\Leftrightarrow a( a+1) =6 \) soit \(a^2+a-6+0\).
On calcule le discriminant : \(\Delta =b^2-4ac = 1^2 - 4 \times (-6)= 25\)
Les solutions sont donc :
\(a_1 = \dfrac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \dfrac{-1+5}{2}= 2\)
\(a_2 = \dfrac{-b- \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \dfrac{-1-5}{2} = -3\)
Il y a donc deux valeurs possibles pour \(a\).
On calcule le discriminant : \(\Delta =b^2-4ac = 1^2 - 4 \times (-6)= 25\)
Les solutions sont donc :
\(a_1 = \dfrac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \dfrac{-1+5}{2}= 2\)
\(a_2 = \dfrac{-b- \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \dfrac{-1-5}{2} = -3\)
Il y a donc deux valeurs possibles pour \(a\).
Question 2
Dans un repère, on considère les points de coordonnées \(A(2;7)\) et \(B(-1;1)\).
Un seul de ces points \(C\) appartient à le droite \((AB)\), lequel ?
\(C(0 ;-3)\)
\(C(-5 ;-7)\)
\(C(1 ;-5)\)
\(C\left(\dfrac{1}{2} ;\dfrac{9}{2}\right)\)
Vous pouvez vous aider d’un schéma pour faire le bon choix de point : essayez ensuite d’écrire la démonstration !
Pour savoir si \(C\) appartient à le droite \((AB)\), il faut savoir si \(A, B\) et \(C\) sont alignés. On utilise alors la propriété suivante : \(A,B\) et \(C\) sont alignés si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
Calculez les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
Pour savoir si \(C\) appartient à le droite \((AB)\), il faut savoir si \(A, B\) et \(C\) sont alignés. On utilise alors la propriété suivante : \(A,B\) et \(C\) sont alignés si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
Calculez les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
Avec \(C(-5;-7)\), on démontre que \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
Les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) sont : \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A \end{pmatrix}\) soit \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -1-2\\ 1-7 \end{pmatrix}\) ou \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -3\\ -6\end{pmatrix}\)
Les coordonnées de \(\overrightarrow{AC}\) sont : \(\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -5-2\\ -7-7 \end{pmatrix}\) soit \(\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}- 7\\ -14 \end{pmatrix}\)
On applique le critère de colinéarité :
\(-3 \times (-14 )= 42\)
\(-6 \times (-7) = 42\)
Les deux produits sont égaux, donc \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires et \(A,B\) et \(C\) sont alignés.
Les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) sont : \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A \end{pmatrix}\) soit \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -1-2\\ 1-7 \end{pmatrix}\) ou \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -3\\ -6\end{pmatrix}\)
Les coordonnées de \(\overrightarrow{AC}\) sont : \(\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -5-2\\ -7-7 \end{pmatrix}\) soit \(\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}- 7\\ -14 \end{pmatrix}\)
On applique le critère de colinéarité :
\(-3 \times (-14 )= 42\)
\(-6 \times (-7) = 42\)
Les deux produits sont égaux, donc \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires et \(A,B\) et \(C\) sont alignés.
Question 3
Dans un repère, on considère encore les points de coordonnées \(A(2 ;7)\) et \(B(-1 ;1)\) et on note \(E(3 ;-6)\).
Pour quelles coordonnées de \(D\) peut-on affirmer que les droites \((AB)\) et \((ED)\) sont parallèles ?
\(D(0 ;-11)\)
\(D(9 ;6)\)
\(D(0 ;6)\)
\(D(9 ;9)\)
Un petit schéma pour faire le choix du point, ensuite, rédigez la démonstration pour vous entrainer !
Pour savoir si deux droites sont parallèles, on utilise la propriété suivante : \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
Calculez les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{ED}\).
Pensez au critère de colinéarité sur les coordonnées.
Pour savoir si deux droites sont parallèles, on utilise la propriété suivante : \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
Calculez les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{ED}\).
Pensez au critère de colinéarité sur les coordonnées.
On démontre que \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{ED}\) sont colinéaires.
Les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) sont :
\(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A \end{pmatrix}\) soit \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -3\\ -6 \end{pmatrix}\).
Les coordonnées de \(\overrightarrow{ED}\) sont :
\(\overrightarrow{ED}\begin{pmatrix} x_D-x_C\\ y_D-y_C \end{pmatrix}\) soit : \(\overrightarrow{ED}\begin{pmatrix} 9-3\\ 6+6 \end{pmatrix}\) soit : \(\overrightarrow{ED}\begin{pmatrix}6\\ 12 \end{pmatrix}\) .
On remarque que \(\overrightarrow{ED} = -2\overrightarrow{AB}\) et on conclut !
Ou alors, on applique le critère de colinéarité : \(-3 \times 12 = -36\) et \(-6 \times 6 = -36\)
Dans tous les cas, on conclut de la manière suivante : \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{ED}\) sont colinéaires, donc \((AB)\) et \((ED)\) sont parallèles.
Les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) sont :
\(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A \end{pmatrix}\) soit \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -3\\ -6 \end{pmatrix}\).
Les coordonnées de \(\overrightarrow{ED}\) sont :
\(\overrightarrow{ED}\begin{pmatrix} x_D-x_C\\ y_D-y_C \end{pmatrix}\) soit : \(\overrightarrow{ED}\begin{pmatrix} 9-3\\ 6+6 \end{pmatrix}\) soit : \(\overrightarrow{ED}\begin{pmatrix}6\\ 12 \end{pmatrix}\) .
On remarque que \(\overrightarrow{ED} = -2\overrightarrow{AB}\) et on conclut !
Ou alors, on applique le critère de colinéarité : \(-3 \times 12 = -36\) et \(-6 \times 6 = -36\)
Dans tous les cas, on conclut de la manière suivante : \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{ED}\) sont colinéaires, donc \((AB)\) et \((ED)\) sont parallèles.
Question 4
Dans un repère, on considère les points de coordonnées \(A(2;7)\) et \(B(-1;1)\).
Pour quelle valeur de \(x\) le point \(M\) de coordonnées \((1 ;x)\) appartient-il à le droite \((AB)\) ?
\(x=0\)
\(x=2\)
\(x=-2\)
\(x=5\)
Les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) sont : \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -3\\ -6\end{pmatrix}\).
Les coordonnées de \(\overrightarrow{AM}\) sont : \(\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x_M-2\\ y_M-7 \end{pmatrix}\).
Ainsi : \(\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} 1-2\\x-7 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} -1\\x-7 \end{pmatrix}\)
Avec le critère de colinéarité, il vient :
\(M\) appartient à la droite \( (AB) \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AM}\) sont colinéaires.
\(\Leftrightarrow -3 \times (x-7) = -6 \times (-1) \)
On résout :
\(-3x+21 = 6\)
\(-3x = -15\)
\(x = 5\)
Les coordonnées de \(\overrightarrow{AM}\) sont : \(\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x_M-2\\ y_M-7 \end{pmatrix}\).
Ainsi : \(\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} 1-2\\x-7 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} -1\\x-7 \end{pmatrix}\)
Avec le critère de colinéarité, il vient :
\(M\) appartient à la droite \( (AB) \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AM}\) sont colinéaires.
\(\Leftrightarrow -3 \times (x-7) = -6 \times (-1) \)
On résout :
\(-3x+21 = 6\)
\(-3x = -15\)
\(x = 5\)
Qui dit alignement de points, dit colinéarité de vecteurs : lesquels ?
Exprimez les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AM}\) (en laissant \(x\)), puis utilisez la critère de colinéarité !
On obtient une équation vérifiée par \(x : -3 \times (x-7) = -6 \times (-1)\) puis on résout !
Exprimez les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AM}\) (en laissant \(x\)), puis utilisez la critère de colinéarité !
On obtient une équation vérifiée par \(x : -3 \times (x-7) = -6 \times (-1)\) puis on résout !
Très classique : encore une application du critère de colinéarité !
Question 5
Dans un repère, on considère les points de coordonnées \(A(2;7)\) et \(B(-1;1)\) et \(H(9 ;1)\).
Les coordonnées du centre de gravité \(G\) du triangle \(ABH\) sont :
\(G(3;3)\)
\(G\left(\dfrac{10}{3};3\right)\)
Comme le centre de gravité \(G\) est situé au deux-tiers de chaque médiane, donc on peut affirmer que \(\overrightarrow{AG} =\frac{2}{3} \overrightarrow{AI}\) avec \(I\) milieu de \([BH]\).
On calcule les coordonnées de \(I\) :
\(x_1= \dfrac{x_B+x_H}{2} = \dfrac{-1+9}{2} = 4\)
\(y_1= \dfrac{y_B+y_H}{2} = \dfrac{-1+1}{2} = 1\)
Donc \(I(4;1)\).
On calcule les coordonnées de chaque vecteur :
\(\overrightarrow{AG}\begin{pmatrix} x_G-2\\ y_G-7 \end{pmatrix}\).
\(\overrightarrow{AI}\begin{pmatrix} 4-2\\ 1-7\end{pmatrix}\) donc \(\overrightarrow{AI}\begin{pmatrix} 2\\ -6 \end{pmatrix}\).
Comme on doit avoir \(\overrightarrow{AG} =\dfrac{2}{3} \overrightarrow{AI}\), il vient : \(\left\{ \begin{array}{left} x_G-2= \dfrac{2}{3} \times 2 \\ y_G-7=\dfrac{2}{3} \times( -6) \end{array}\right. \) d’où \(\left\{ \begin{array}{left} x_G= \dfrac{4}{3} + 2 = \dfrac{10}{3} \\ y_G=-4+7=3 \end{array}\right. \)
Les coordonnées de \(G\) sont \(G\left(\dfrac{10}{3};3\right)\).
\(x_1= \dfrac{x_B+x_H}{2} = \dfrac{-1+9}{2} = 4\)
\(y_1= \dfrac{y_B+y_H}{2} = \dfrac{-1+1}{2} = 1\)
Donc \(I(4;1)\).
On calcule les coordonnées de chaque vecteur :
\(\overrightarrow{AG}\begin{pmatrix} x_G-2\\ y_G-7 \end{pmatrix}\).
\(\overrightarrow{AI}\begin{pmatrix} 4-2\\ 1-7\end{pmatrix}\) donc \(\overrightarrow{AI}\begin{pmatrix} 2\\ -6 \end{pmatrix}\).
Comme on doit avoir \(\overrightarrow{AG} =\dfrac{2}{3} \overrightarrow{AI}\), il vient : \(\left\{ \begin{array}{left} x_G-2= \dfrac{2}{3} \times 2 \\ y_G-7=\dfrac{2}{3} \times( -6) \end{array}\right. \) d’où \(\left\{ \begin{array}{left} x_G= \dfrac{4}{3} + 2 = \dfrac{10}{3} \\ y_G=-4+7=3 \end{array}\right. \)
Les coordonnées de \(G\) sont \(G\left(\dfrac{10}{3};3\right)\).
\(G\left(3;\dfrac{10}{3}\right)\)
\(G\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{10}{3}\right)\)
Quelle propriété du centre de gravité peut être utile ici ? Essayez d’obtenir une égalité vectorielle.
Le centre de gravité \(G\) est situé au deux-tiers de chaque médiane, donc on peut affirmer que \(\overrightarrow{AG} =\dfrac{2}{3} \overrightarrow{AI}\) avec \(I\) milieu de \([BH]\). Ensuite il faut traduire l’égalité sur les coordonnées (vous aurez besoin des coordonnées du milieu \(I\) : attention, formule à connaître ! ).
On a \(I(4;1)\). Puis on calcule les coordonnées de \(\overrightarrow{AG}\) et \(\overrightarrow{AI}\) (en notant \((x_G ;y_G)\) les coordonnées de \(G\)). On trouve ensuite que \((x_G ;y_G)\) doivent vérifier : \(x_G - 2 = \dfrac{2}{3} \times 2 \) et \(y_G-7 = \dfrac{2}{3} \times -6\)
Le centre de gravité \(G\) est situé au deux-tiers de chaque médiane, donc on peut affirmer que \(\overrightarrow{AG} =\dfrac{2}{3} \overrightarrow{AI}\) avec \(I\) milieu de \([BH]\). Ensuite il faut traduire l’égalité sur les coordonnées (vous aurez besoin des coordonnées du milieu \(I\) : attention, formule à connaître ! ).
On a \(I(4;1)\). Puis on calcule les coordonnées de \(\overrightarrow{AG}\) et \(\overrightarrow{AI}\) (en notant \((x_G ;y_G)\) les coordonnées de \(G\)). On trouve ensuite que \((x_G ;y_G)\) doivent vérifier : \(x_G - 2 = \dfrac{2}{3} \times 2 \) et \(y_G-7 = \dfrac{2}{3} \times -6\)
Il faut bien retenir la méthode ! Vous pouvez aussi apprendre ces formules :
Lorsque \(G\) est le centre de gravité du triangle \(ABC\), ses coordonnées sont données par :
\(x_G = \dfrac{x_A + x_B + x_C}{3}\) et \(y_G = \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}\)
Lorsque \(G\) est le centre de gravité du triangle \(ABC\), ses coordonnées sont données par :
\(x_G = \dfrac{x_A + x_B + x_C}{3}\) et \(y_G = \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}\)
Les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) sont :
\(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A \end{pmatrix}\) soit \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -3\\ -6 \end{pmatrix}\).
Les coordonnées de \(\overrightarrow{ED}\) sont :
\(\overrightarrow{ED}\begin{pmatrix} x_D-x_C\\ y_D-y_C \end{pmatrix}\) soit : \(\overrightarrow{ED}\begin{pmatrix} 9-3\\ 6+6 \end{pmatrix}\) soit : \(\overrightarrow{ED}\begin{pmatrix}6\\ 12 \end{pmatrix}\) .
On remarque que \(\overrightarrow{ED} = -2\overrightarrow{AB}\) et on conclut !
Ou alors, on applique le critère de colinéarité : \(-3 \times 12 = -36\) et \(-6 \times 6 = -36\)
Dans tous les cas, on conclut de la manière suivante : \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{ED}\) sont colinéaires, donc \((AB)\) et \((ED)\) sont parallèles.