L'énoncé
Questionnaire à Choix Multiple : cocher une ou plusieurs réponses par item.
Tu as obtenu le score de
Question 1
Sachant que \(\cos(\frac{\pi}{12}) = (\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4})\), donner la ou les réponses correctes :
\(\cos(-\frac{\pi}{12}) = - \dfrac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}\)
\(\cos(\frac{25\pi}{12}) = \dfrac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}\)
\(\sin(\frac{19\pi}{12}) = \dfrac{(\sqrt{6}+\sqrt{2)}}4\)
\(\sin(-\frac{17\pi}{12}) = \dfrac{(-\sqrt{6}+\sqrt{2)}}{4}\)
\(\frac{25\pi}{12} = 2\pi + \frac{\pi}{12}\)
\(\frac{19\pi}{12} = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{12}\)
\(\frac{(-\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4} \neq - \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}\) : attention à la place du signe "moins".
\(\cos(-\frac{\pi}{12}) =\cos(\frac{\pi}{12})\)
\(\cos(\frac{25\pi}{12}) =\cos(2\pi + \frac{\pi}{12}) =\cos(\frac{\pi}{12})\)
\(\sin(\frac{19\pi}{12}) =\sin(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{12}) = -\cos(\frac{\pi}{12})\)
\(\sin(-\frac{17\pi}{12}) =\sin(-\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{12}) =\cos(\frac{\pi}{12})\) (par lecture du cercle)
Question 2
Les solutions dans \(\mathbb{R}\) de \(\sin(x) =\sin(3x)\) sont :
\(x=0\) et \(\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\) avec \(k'\) dans \(\mathbb{Z}\)
\(x=0\) et \(x=\dfrac{\pi}{4}\)
\(x = k\pi\) et \(x =\dfrac{ \pi}{4} +2k'\pi\) avec \(k\) et \(k'\) dans \(\mathbb{Z}\)
\(x = -k\pi\) et \(x =\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k'\pi}{2}\) avec \(k\) et \(k'\) dans \(\mathbb{Z}\)
Utilise les solutions données dans le cours.
Ensuite résous les équations.
\(k\pi = - k\pi\) car \(k \in \mathbb{Z}\)
Pense bien à diviser aussi les \("2k\pi"\)
\(\sin(x) =\sin(3x) \)
\(\Leftrightarrow x = 3x + 2k\pi\) et \(x = \pi - 3x +2k'\pi \)
\( \Leftrightarrow -2x = 2k\pi\) et \(4x = \pi + 2k'\pi\)
\(\sin(x) =\sin(3x) \)
\( \Leftrightarrow x = -k\pi\) et \(x = \frac{\pi}{4} +\frac{k'\pi}{2}\) avec \(k\) et \(k'\) dans \(\mathbb{Z}\)
Question 3
Les solutions sur \(\left[\dfrac{-\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2}\right]\) de \(\sin(x) = \sin(2x)\) sont :
\(S=\left\{{0 ; \dfrac{\pi}{3}}\right\}\)
\( S =\left\{0 ; \dfrac{\pi}{3}; \dfrac{-\pi}{3}\right\}\)
\(S=\left\{\dfrac{\pi}{3} ; \pi\right\}\)
\(S=\left\{\dfrac{\pi}{3} ; \dfrac{-\pi}{3}\right\}\)
Utilise les solutions données dans le cours.
Ensuite résous les équations.
Attention : on est sur \([\frac{-\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}]\) et pas sur \(\mathbb{R}\).
\(sin(x) = sin(2x) \Leftrightarrow x = -2k\pi\) et \(x = \frac{\pi}{3} + \frac{2k'\pi}{3}\) avec \(k\) et \(k'\) dans \(\mathbb{Z}\)
Pour \(k = 0\) et \(k' = 0\) on obtient \(x = 0\) et \(x=\frac{\pi}{3}\)
Pour \(k = 1\) et \(k' = 1\) on obtient \(x = - 2\pi \notin [\frac{-\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}]\) et \(x = \frac{\pi}{3} +\frac{2\pi}{3} = \pi \notin [\frac{-\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}]\)
Pour \(k = - 1\) et \(k' = - 1\) on obtient \(x = 2\pi \notin [\frac{-\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}]\) et \(x = \frac{\pi}{3} -\frac{2\pi}{3} = \frac{-\pi}{3}\)
Conclusion : \( S = \{0 ; \frac{\pi}{3}; \frac{-\pi}{3}\}\)
Question 4
Les solutions sur \(\mathbb{R}\) de \(\cos(x) = -\sin(x)\) sont :
\(x = \dfrac{-\pi}{4} + 2k\pi\) avec \(k \in \mathbb{Z}\)
\(x = \dfrac{\pi}{4} - k\pi\) avec \(k \in \mathbb{Z}\)
\(x = \dfrac{-\pi}{4} + k\pi\) avec \(k \in \mathbb{Z}\)
\(x = \dfrac{-\pi}{4}\)
Il faut transformer l'équation de façon à avoir un cosinus ou un sinus de chaque côté du signe \(=\)
\(-\sin(x) =\cos(x+\frac{\pi}{2})\)
On résout l'équation sur \(\mathbb{R}\)
\(\cos(x) = -\sin(x) \Leftrightarrow\cos(x) =\cos(x+\frac{\pi}{2})\)
\(\cos(x) = -\sin(x) \Leftrightarrow x = x+\frac{\pi}{2} + 2k\pi\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) et \(x = -x + \frac{\pi}{2} + 2k'\pi\) avec \(k' \in \mathbb{Z}\)
\( x = x+\frac{\pi}{2} + 2k\pi\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) n'a pas de solutions.
Ainsi :
\(\cos(x) = -\sin(x) \Leftrightarrow x = -\frac{\pi}{4} + k'\pi\) avec \(k' \in \mathbb{Z}\)
Question 5
L'ensemble des solutions sur \([-\pi ; \pi]\) de l'équation \( \cos (\frac{\pi}{6}+2x) = \dfrac{1}{2}\) est :
\(S =\left\{ \dfrac{\pi}{6}; \dfrac{-\pi}{2} \right\} \)
\(S = \left\{\dfrac{\pi}{12} + k\pi, k \in \mathbb{Z} ; \dfrac{-\pi}{4} +k'\pi, k'\in \mathbb{Z} \right\}\)
\(S =\left\{-\dfrac{11\pi}{12} ;\dfrac{-\pi}{4};\dfrac{\pi}{12} ; \dfrac{3\pi}{4}\right\}\)
\(S =\left\{\dfrac{\pi}{12} ; \dfrac{3\pi}{4}; \dfrac{-11\pi}{12}\right\}\)
On ne résout pas l'équation sur \(\mathbb{R}\) donc pas de \("2k\pi"\) mais des solutions précises.
\(\frac{1}{2} = \cos(\frac{\pi}{3})\)
Recherche dans ton cours les solutions de \(\cos(x) = \cos(a)\)
Donne ensuite parmi toutes les solutions celles de l'intervalle \([-\pi ; \pi]\)
\(cos(\frac{\pi}{6}+2x) = cos(\frac{\pi}{3}) \Leftrightarrow \frac{\pi}{6}+2x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}\) et \(\frac{\pi}{6}+2x = -\frac{\pi}{3} + 2k'\pi, k' \in \mathbb{Z}\)
\(cos(\frac{\pi}{6}+2x) = cos(\frac{\pi}{3}) \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi}{6}+ 2k\pi, k \in \mathbb{Z}\) et \(2x = -\frac{\pi}{2} + 2k'\pi, k'\in \mathbb{Z}\)
\(cos(\frac{\pi}{6}+2x) = cos(\frac{pi}{3}) \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{12} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\) et \(x = -\frac{\pi}{4} + k'\pi, k' \in \mathbb{Z}\)
Pour \(k = 0\) et \(k' = 0\) on obtient \( x = \frac{\pi}{12}\) et \( x = -\frac{\pi}{4}\)
Pour \(k = 1\) et \(k' = 1\) on obtient \( x = \frac{13\pi}{12} \notin [-\pi ; \pi]\) et \( x = \frac{3\pi}{4}\)
Pour \(k = 2\) (ou \(k' = 2\)) on obtient des solutions qui n'appartiennent pas à \([-\pi ; \pi]\) donc inutile de poursuivre au-delà. Idem pour \(k = 2\) (ou \(k' = -2\) )
Pour \(k = -1\) et \(k' = -1\) on obtient : \( x = \frac{-1