L'énoncé
Questionnaire à Choix Multiple : cocher une ou plusieurs réponses par item.
Tu as obtenu le score de
Question 1
Sachant que \(\cos(\frac{\pi}{5}) = \dfrac{1+\sqrt{5}}{4}\), donner la ou les réponses correctes :
\(\cos(\frac{4\pi}{5}) = - \dfrac{1+\sqrt{5}}{4}\)
\(\cos(\frac{6\pi}{5}) = \dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}\)
\(\sin(\frac{3\pi}{10}) = \dfrac{1+\sqrt{5}}4\)
\(\sin(\frac{7\pi}{10}) = \dfrac{1+\sqrt{5}}{-4}\)
\(\frac{4\pi}{5} = \pi – \frac{\pi}{5}\)
\(\frac{6\pi}{5} = \pi + \frac{\pi}{5}\)
\(\frac{(-1+\sqrt{5})}{4} \neq - \frac{(1+\sqrt{5})}{4}\) : attention à la place du signe "moins".
\(\cos(\frac{4\pi}{5}) =\cos(\pi – \frac{\pi}{5}) = -\cos(\frac{\pi}{5})\)
\(\cos(\frac{6\pi}{5}) =\cos(\pi + \frac{\pi}{5}) = -\cos(\frac{\pi}{5})\)
\(\sin(\frac{3\pi}{10}) =\sin(\frac{\pi}{2} – \frac{\pi}{5}) =\cos(\frac{\pi}{5})\)
\(\sin(\frac{7\pi}{10}) =\sin(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{5}) =\cos(\frac{\pi}{5})\)
Question 2
Les solutions dans \(\mathbb{R}\) de \(\cos(x) =\cos(2x)\) sont :
\(x=0\)
\(x = -2k\pi\) et \(x = \dfrac{1}{3} + 2k'\pi\) avec \(k\) et \(k'\) dans \(\mathbb{Z}\)
\(x = -2k\pi\) et \(x =\dfrac{ 2k'\pi}{3}\) avec \(k\) et \(k'\) dans \(\mathbb{Z}\)
\(x = \pi + 2k\pi\) et \(x =\dfrac{\pi}{3} + 2k'\pi\) avec \(k\) et \(k'\) dans \(\mathbb{Z}\)
Utilise les solutions données dans le cours.
Ensuite résous les équations.
\(2k\pi = - 2k\pi\) car \(k \in \mathbb{Z}\)
Pense bien à diviser aussi les \("2k\pi"\)
\(\cos(x) =\cos(2x) \)
\(\Leftrightarrow x = 2x + 2k\pi\) et \(x = -2x + 2k'\pi \)
\(\Leftrightarrow -x = 2k\pi\) et \(3x = 2k'\pi\)
\(\cos(x) =\cos(2x) \)
\(\Leftrightarrow x = -2k\pi\) et \(x = \frac{2k'\pi}{3}\) avec \(k\) et \(k'\) dans \(\mathbb{Z}\)
Question 3
Les solutions sur \([0 ; \pi]\) de \(\cos(x) =\cos(3x)\) sont :
\(\large\{\normalsize 0 ; \large\frac{\pi}{2}\}\)
\(\large\{\normalsize \pi ; \large\frac{\pi}{2}\}\)
\(\large\{\normalsize 0 ; \pi ; - \large\frac{\pi}{2}\}\)
\(\large\{\normalsize 0 ; \pi ; \large\frac{\pi}{2}\}\)
Utilise les solutions données dans le cours.
Ensuite résous les équations.
Attention : on est sur \([0 ; \pi]\) et pas sur \(\mathbb{R}\)
\(\cos(x) =\cos(3x) \)
\(\Leftrightarrow x = 3x + 2k\pi\) et \(x = -3x + 2k'\pi\)
\( \Leftrightarrow -2x = 2k\pi\) et \(4x = 2k'\pi\)
\(\cos(x) =\cos(3x) \Leftrightarrow x = -k\pi\) et \(x = \frac{k'\pi}{2}\) avec \(k\) et \(k'\) dans \(\mathbb{Z}\)
Pour \(k = 0\) et \(k' = 0\) on obtient \(x = 0\)
Pour \(k = 1\) et \(k' = 1\) on obtient \(x = - \pi \notin [0 ; \pi]\) et \(x = \frac{\pi}{2}\)
Pour \(k = - 1\) et \(k' = - 1\) on obtient \(x = \pi \notin [0 ; pi]\) et \(x = - \frac{\pi}{2} \notin [0 ; \pi]\)
Ainsi : \(S = \large\{\normalsize 0 ; \pi ; \large\frac{\pi}{2}\}\)
Question 4
Les solutions sur \(\mathbb{R}\) de \(\cos(x) =\sin(x)\) sont :
\(x = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi\) avec \(k \in \mathbb{Z}\)
\(x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi\) avec \(k \in \mathbb{Z}\)
\(x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{4}\) avec \(k \in \mathbb{Z}\)
\(x = \dfrac{\pi}{4}\)
Il faut transformer l'équation de façon à avoir un cosinus ou un sinus de chaque côté du signe \(=\).
\(\sin(x) =\cos(\frac{\pi}{2} – x)\)
On résout l'équation sur \(\mathbb{R}\).
\(cos(x) = sin(x) \Leftrightarrow cos(x) = cos(\frac{\pi}{2} – x)\)
\(cos(x) = sin(x) \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} – x + 2k\pi\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) et \(x = - \frac{\pi}{2} + x + 2k'\pi\) avec \(k' \in \mathbb{Z}\)
\(cos(x) = sin(x) \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) et \(0x = - \frac{\pi}{2} + 2k'\pi\) avec \(k' \in \mathbb{Z}\). Cette deuxième équation n'a pas de solutions
Ainsi : \(S =\{\frac{\pi}{4} + k\pi\) avec \(k \in \mathbb{Z}\}\)
Question 5
L'ensemble des solutions sur \([-\pi ; \pi]\) de l'équation \(\sin(\frac{\pi}{3}+2x) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) est :
\(S = \left\{ -\dfrac{\pi}{24} +2k\pi \text{ et } k \in \mathbb{Z} ; \dfrac{5\pi}{24} + 2k'\pi \text{ et } k' \in \mathbb{Z}\right\} \)
\(S =\left\{-\dfrac{\pi}{24} ; \dfrac{5\pi}{24} ; \dfrac{23\pi}{24} ; \dfrac{-19\pi}{24}\right \}\)
\(S =\left\{-\dfrac{\pi}{12} ; \dfrac{5\pi}{12}\right\}\)
\(S =\left\{-\dfrac{\pi}{24} ; \dfrac{5\pi}{24}\right\}\)
\(\frac{\sqrt{2}}{2} =\sin(\frac{\pi}{4})\)
Recherche dans ton cours les solutions de \(\sin(x) =\sin(a)\).
On ne résout pas l'équation sur \(\mathbb{R}\) donc pas de \("2k\pi"\) mais des solutions précises.
Donne ensuite parmi toutes les solutions celles de l'intervalle \([-\pi ; \pi]\).
\(\sin(\frac{\pi}{3}+2x) = \sin(\frac{\pi}{4}) \Leftrightarrow \frac{\pi}{3}+2x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}\) et \(\frac{\pi}{3}+2x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2k'\pi, k' \in \mathbb{Z}\)
\(\sin(\frac{\pi}{3}+2x) = \sin(\frac{\pi}{4}) \Leftrightarrow 2x = - \frac{\pi}{12}+ 2k\pi, k \in \mathbb{Z}\) et \(2x = \frac{5\pi}{12} + 2k'\pi, k'\in \mathbb{Z}\)
\(\sin(\frac{\pi}{3}+2x) = \sin(\frac{\pi}{4}) \Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{24} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\) et \(x = \frac{5\pi}{24} + k'\pi, k' \in \mathbb{Z}\)
Pour \(k = 0\) et \(k' = 0\) on obtient \( x = - \frac{\pi}{24}\) et \(x = \frac{5\pi}{24}\)
Pour \(k = 1\) et \(k' = 1\) on obtient : \( x = \frac{23\pi}{24}\) et \( x = \frac{-19\pi}{24}\)
Pour \(k = 2\) (ou \(k' = 2\)) on obtient des solutions qui n'appartiennent pas à \([-\pi ; \pi]\) donc inutile de poursuivre au-delà. Idem pour \(k = -1\) (ou \(k' = -1\) )
Conclusion : \(S = \{-\frac{\pi}{24} ; \