Fiche de cours
Suites géométriques
1) Définition
Une suite géométrique est une suite pour laquelle chaque terme permet de déduire le suivant en étant multiplié par une constante $q$, la raison.
Une suite géométrique est ainsi définie par
$\left \{ \begin{array}{l} u_{n + 1} = u_n \times q \\ u_0 \\ \end{array} \right.$ où $q$ est la raison ($q \in \mathbb{R}$) et $u_0$ est le premier terme de la suite.
Considérons une suite géométrique de raison $2$ de premier terme 5 qui s'écrit alors :
$\left \{ \begin{array}{l} u_{n + 1} = u_n \times 2 \\ u_0=5 \\ \end{array} \right.$
Les premiers termes de la suite sont donc :
$u_1 = u_0 \times 2 = 5 \times 2 = 10$ et
$u_2 = u_1 \times 2 = 10 \times 2 = 20$.
Propriété : expression de $u_n$ en fonction de $n$.
Néanmoins la définition d'une suite géométrique nécessite pour calculer un terme de la suite d'avoir au préalable calculé tous les termes précédents.
Pour passer de $u_0$ à $u_n$, on remarque qu'il a fallu multiplier $u_0$ $n$ fois par $q$ :
Ainsi : $u_n = u_0 \times q^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
La formule plus générale permet de calculer tous les termes si l'on ne connait pas le premier terme mais le $p^{\text{ème}}$ :
Pour tous $n, \ p \in \mathbb{N}, u_n = u_p \times q^{(n - p)}$.
En reprenant l'exemple précédent, on trouve $u_4 = u_0 \times q^4 = 5 \times 2^4 = 80$