En traversant une plaque de verre teintée, un rayon lumineux perd 20 % de son intensité lumineuse.
L’intensité lumineuse est exprimée en candela (cd). On utilise une lampe torche qui émet un rayon d’intensité lumineuse réglée à $400$ cd.
On superpose $n$ plaques de verres identiques ($n$ étant un entier naturel) et on désire mesurer l’intensité lumineuse $I_n$ du rayon à la sortie de la $n-$ième plaque.
On note $U_0 = 400$ l’intensité lumineuse du rayon émis par la lampe torche avant de traverser les plaques (intensité lumineuse initiale). Ainsi, cette situation est modélisée par la suite $(I_n)$.
1. Montrer par un calcul que $I_1= 320$.
2. a. Pour tout entier naturel $n$ , exprimer $I_{n+1}$ en fonction de $I_n$.
b. En déduire la nature de la suite $(I_n)$. Préciser sa raison et son premier terme.
c. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $I_n$ en fonction de $n$.
3. On souhaite déterminer le nombre minimal $n$ de plaques à superposer afin que le rayon initial ait perdu au moins 70 % de son intensité lumineuse initiale après sa traversée des plaques.
a. Afin de déterminer le nombre de plaques à superposer, on considère la fonction Python suivante.
Préciser, en justifiant, le nombre $j$ de sorte que l’appel nombrePlaques(j) renvoie le nombre de plaques à superposer.
b. Le tableau suivant donne des valeurs de $I_n$. Combien de plaques doit-on superposer ?
| $n$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ |
| $I_n$ | $400$ | $320$ | $256$ | $204,8$ | $163,84$ | $131,07$ | $104,85$ | $83,886$ |
1) Rappel de cours : Diminuer un nombre de $t\%$ revient à la multiplier par le coefficient multiplicateur $CM$ suivant : $CM = 1-\dfrac{t}{100}$
Dans cet exercice, l'intensité lumineuse diminue de $20\%$ pour chaque plaque traversée.
On obtient donc :
$CM = 1-\dfrac{20}{100}$
$CM = 1-0,2$
$CM=0,8$
Ainsi :
$I_1=I_0 \times 0,8$
$I_1=400\times 0,8$
$I_1=320$
2) a) On obtient chaque terme de la suite en multipliant le précédent par $0,8$. Ainsi :
Pour tout entier naturel $n$, $I_{n+1}=0,8 \times I_n$
b) Par définition, il s'agit d'une suite géométrique de raison $q=0,8$ et de premier terme $I_0=400$.
c) On applique la propriété du cours : Pour tout entier naturel $n$, $I_n=I_0 \times q^n$
Où encore : $I_n=400 \times {0,8}^n$
3) Pour que le rayon initial ait perdu au moins $70\%$ de son intensité, on calcule le coefficient mUltiplicateur associé à une baisse de $70\%$ :
$CM = 1-\dfrac{70}{100}$
$CM = 1-0,7$
$CM=0,3$
L'intensité du rayon doit faut qu'il soit inférieur à $400\times 0,3= 120$
Ainsi la valeur de $j$ dans l'algorithme est $120$.
4) On note dans le tableau que l'intensité est inférieure à $120$ lorsqu'on superpose $6$ plaques.