L'énoncé
Prendre une feuille de brouillon et rédiger chaque question. Pour rester dans l’intérêt du chapitre, essayer de résoudre ces problèmes en utilisant des suites.
Question 1
Une taupe fait des progrès. Chaque jour elle creuse 60cm de plus de galerie que la veille. Sachant quelle creuse 4m le premier jour, quelle longueur pourra t-elle creuser le 8e jour ?
On peut modéliser ce problème par une suite arithmétique de raison \(0.6\)m soit \((60 cm)\) et de premier terme \(u_1 =4\)
On a : \(u_n=u_1+ (n-1)r\)
Donc \(u_8=u_1+ 7r\)
\(u_8 = 4 + 7\times0.6\)
\(u_8 = 8.2 m\)
La taupe pourra creuser \(8m20\) le huitième jour.
Peut-on utiliser une suite pour ce problème ?
Si oui quelle serait sa nature, sa raison et son premier terme ?
Question 2
Diane reçoit chaque mois la même somme d'argent de poche de ses parents. Elle ne dépense rien du tout car elle est d'une avarice maladive. En janvier 2012, elle avait 154€ . En août 2013, elle possédait 496€ . Combien ses parents lui donnent-ils chaque mois ?
On peut modéliser ce problème par une suite arithmétique de raison \(r\) inconnue et de premier terme \(u_1 =154\).
Entre janvier \(2012\) et août 2013 il y a \(19\) mois. \((12+7)\)
On sait que \( u_{19} = 496\).
De plus : \( u_{19} = u_1 + 18 r\)
Soit :
\( 18r = u_{19} u_1\)
\( 18 r = 496-154\)
\( 18r = 342\)
\( r = \dfrac{342}{18}\)
\( r = 19\)
Diane reçoit $19$€ chaque mois.
Peut-on utiliser une suite pour ce problème ?
Si oui quelle serait sa nature, sa raison et son premier terme ?
Question 3
La grand-mère de Scott perd chaque année \(0.2 cm\). (On dit quelle se tasse : ses disques entre chaque vertèbre s'usent progressivement) .
En 2001, elle mesurait \(1m49\).
Combien mesurait t-elle en 2013 ?
On peut modéliser ce problème par une suite arithmétique de raison \(-0.2\) et de premier terme \(u_1 =149\) ( attention aux unités : tout convertir en cm).
Entre 2001 et 2013, il y a \(12\) années.
Ainsi :
\(u_{13} = u_1 + 12r\)
\(u_{13} = 149-12\times0.2\)
\(u_{13} = 149-2.4\)
\(u_{13} = 146.6\)
La grand-mère mesurait donc $146.6$ cm en 2013.
Peut-on utiliser une suite pour ce problème ?
Si oui quelle serait sa nature, sa raison et son premier terme ?
Question 4
Sacha a hérité en janvier 2011 de $13000$ euros de ses parents, ce sont là toutes ses économies. Sa passion est hélas le poker mais elle n'a aucun talent. Elle perd chaque semaine $75$€ en moyenne. Pourra t-elle continuer à jouer (et donc perdre) à partir de janvier 2015 ?
Il y a $52$ semaines par an donc Sacha va perdre : \(75\times52 = 3900\) euros par an.
On peut modéliser ce problème par une suite arithmétique de raison \(-3900\) et de premier terme \( u_1 =13000\).
Calculons \(u_5\) la valeur théorique de ses économies en 2015.
\(u_5 = u_1 + 4r\)
\(u_5 = 13000 -3900\times4 = -2600\)
Cette valeur est négative donc elle ne pourra pas jouer jusquen 2015. Elle sera ruinée avant.
Peut-on utiliser une suite pour ce problème ?
Si oui quelle serait sa nature, sa raison et son premier terme ?
Question 5
Les cheveux de Imène poussent régulièrement de \(1.3 cm\) par mois. Elle s'est rasée la tête suite à un pari stupide et veut retrouver ses cheveux longs (au moins \(55 cm\)). Combien de temps devra t-elle attendre ?
On peut modéliser ce problème par une suite arithmétique de raison \(1.3\) et de premier terme \(u_0 =0\). (Ses cheveux ont une longueur nulle au début du problème.)
On cherche \(n\) tel que \(u_n\geq 55\)
Or : \(u_n = u_0 + nr\)
Ainsi : \(u_0+n\times1.3\geq 55\)
\(1.3 n\geq 55\)
\(n\geq 42.3 \) environ
Elle devra attendre \(43\) mois pour retrouver une longueur minimale de \(55\) cm.
Si oui quelle serait sa nature, sa raison et son premier terme ?
Dans cet exercice l’inconnu est l’indice \(n\).