L'énoncé
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Question 1
On considère la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par : \(u_{n +1}= u_n -7.5+6\) et \(u_0=2\)
Cette suite est :
Arithmétique de raison \(-1.5\).
Arithmétique de raison \(4.5\).
Non arithmétique.
Géométrique.
On peut calculer la somme des deux réels…
Comment montrer qu’une suite est arithmétique ?
On calcule \(u_{n +1}- u_n\).
Comment montrer qu’une suite est arithmétique ?
On calcule \(u_{n +1}- u_n\).
\(u_{n +1}- u_n = -7.5+6\)
\(u_{n +1}- u_n =-1.5\)
C’est la définition d’une suite arithmétique de raison \(-1.5\)
\(u_{n +1}- u_n =-1.5\)
C’est la définition d’une suite arithmétique de raison \(-1.5\)
Question 2
On considère la suite définie pour tout entier \(\mathbb{N}\) par : \(\dfrac{1}{2}+ u_{n+1}- u_n= -1\) et \( u_0 = 2\)
Cette suite est :
Constante.
Géométrique.
Non arithmétique.
Arithmétique de raison \(-\dfrac{3}{2}\).
Comment montrer qu’une suite est arithmétique ?
On calcule \(u_{n +1}- u_n\).
On calcule \(u_{n +1}- u_n\).
On a :
\(\dfrac{1}{2}+ u_{n+1}- u_n= -1\)
\(\Leftrightarrow\) \(u_{n+1}- u_n = -1-\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\) \(u_{n+1}- u_n = -\dfrac{3}{2}\)
Ceci est la définition d’une suite arithmétique de raison \(-\dfrac{3}{2}\).
Le premier terme vaut \(u_0 = 2\).
\(\dfrac{1}{2}+ u_{n+1}- u_n= -1\)
\(\Leftrightarrow\) \(u_{n+1}- u_n = -1-\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\) \(u_{n+1}- u_n = -\dfrac{3}{2}\)
Ceci est la définition d’une suite arithmétique de raison \(-\dfrac{3}{2}\).
Le premier terme vaut \(u_0 = 2\).
Question 3
On considère la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par : \(u_n= -4\sqrt3n+7\)
On a :
\((u_n)\) est géométrique.
\((u_n)\) n’est ni arithmétique ni géométrique.
\((u_n)\) est arithmétique de raison \( -4\sqrt3\).
\((u_n)\) est arithmétique de premier terme \(7\).
Comment montrer qu’une suite est arithmétique ?
On calcule \(u_{n +1}- u_n\).
On calcule \(u_{n +1}- u_n\).
On a :
\(u_{n +1}- u_n = -4\sqrt3(n+1)+7-(-4\sqrt3n+7)\)
\(\Leftrightarrow\) \(u_{n +1}- u_n=-4\sqrt3n-4\sqrt3+7+4\sqrt3n-7\)
\(\Leftrightarrow\) \(u_{n +1}- u_n=-4\sqrt3 \)
Ce nombre étant constant, il s’agit donc d’une suite arithmétique de raison \(-4\sqrt3\).
De plus, \(u_n=7+( -4\sqrt3n)\) donc lorsque \(n=0\),
\(u_0 = 7-4\sqrt3\times0 = 7\)
\((u_n)\) est arithmétique de premier terme \(7\).
\(u_{n +1}- u_n = -4\sqrt3(n+1)+7-(-4\sqrt3n+7)\)
\(\Leftrightarrow\) \(u_{n +1}- u_n=-4\sqrt3n-4\sqrt3+7+4\sqrt3n-7\)
\(\Leftrightarrow\) \(u_{n +1}- u_n=-4\sqrt3 \)
Ce nombre étant constant, il s’agit donc d’une suite arithmétique de raison \(-4\sqrt3\).
De plus, \(u_n=7+( -4\sqrt3n)\) donc lorsque \(n=0\),
\(u_0 = 7-4\sqrt3\times0 = 7\)
\((u_n)\) est arithmétique de premier terme \(7\).
Question 4
On considère la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par : \(u_n= 3n^2-5.\)
On a :
\((u_n)\) n’est pas arithmétique.
\((u_n)\) est arithmétique.
\((u_n)\) est arithmétique de raison \(-3\).
\((u_n)\) est arithmétique de premier terme \(5\).
Comment montrer qu’une suite est arithmétique ?
On calcule \(u_{n +1}- u_n\).
On calcule \(u_{n +1}- u_n\).
On a :
\(u_{n +1}- u_n= 3(n+1)^2-5-(3n^2-5)\)
\(\Leftrightarrow\) \(u_{n +1}- u_n=3(n^2+2n+1)-5-3n^2+5\)
\(\Leftrightarrow\) \(u_{n +1}- u_n=6n+3\)
\(u_{n +1}- u_n\) n’est pas constant donc \((u_n) \) n’est pas une suite arithmétique.
\(\Leftrightarrow\) \(u_{n +1}- u_n=3(n^2+2n+1)-5-3n^2+5\)
\(\Leftrightarrow\) \(u_{n +1}- u_n=6n+3\)
\(u_{n +1}- u_n\) n’est pas constant donc \((u_n) \) n’est pas une suite arithmétique.
Question 5
On considère la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par : \(u_n= -\dfrac{4}{3}(-n+2)\).
On a :
\((u_n)\) n’est pas arithmétique.
\((u_n)\) est arithmétique.
\((u_n\)) est arithmétique de raison \(\dfrac{4}{3}\).
\((u_n)\) est arithmétique de premier terme \(2\).
Il faut toujours penser à développer ce type d’expression :
\(u_n= -\dfrac{4}{3}(-n+2)\)
\(\Leftrightarrow\) \(u_n= \dfrac{4}{3}n-\dfrac{8}{3}\)
On a : \(u_{n +1}- u_n = \dfrac{4}{3}(n+1)-\dfrac{8}{3}-(\dfrac{4}{3}n-\dfrac{8}{3})\)
\(\Leftrightarrow\) \(u_{n +1}- u_n=\frac{4}{3}n+\dfrac{4}{3}-\dfrac{8}{3}-\dfrac{4}{3}n+\dfrac{8}{3}\)
\(\Leftrightarrow\) \(u_{n +1}- u_n=\dfrac{4}{3} \)
Il s'agit bien d'une suite arithmétique de raison \(\dfrac{4}{3}\).
Le premier terme de la suite vaut \(-\dfrac{8}{3}\).
\(u_n= -\dfrac{4}{3}(-n+2)\)
\(\Leftrightarrow\) \(u_n= \dfrac{4}{3}n-\dfrac{8}{3}\)
On a : \(u_{n +1}- u_n = \dfrac{4}{3}(n+1)-\dfrac{8}{3}-(\dfrac{4}{3}n-\dfrac{8}{3})\)
\(\Leftrightarrow\) \(u_{n +1}- u_n=\frac{4}{3}n+\dfrac{4}{3}-\dfrac{8}{3}-\dfrac{4}{3}n+\dfrac{8}{3}\)
\(\Leftrightarrow\) \(u_{n +1}- u_n=\dfrac{4}{3} \)
Il s'agit bien d'une suite arithmétique de raison \(\dfrac{4}{3}\).
Le premier terme de la suite vaut \(-\dfrac{8}{3}\).