On sait que pour tout entier \(n\), \(-n^2+1 \leq1\) donc on a : \(u_n\leq1\). Le nombre $1$ est donc un majorant de cette suite. Lorsque \(n\) tend vers l’infini, le nombre \(-n^2 +1\) tend vers \(-\infty\). La suite n’est donc pas minorée. N’étant pas minorée, elle n’est pas bornée.
Étudions le sens de variations de cette suite.
Pour cela la méthode consiste à étudier le signe de \(u_{n+1}-u_n\)
On a :
\(u_{n+1}-u_n= -(n+1)^2+1 –(-n^2+1)\)
\(\Leftrightarrow\) \(u_{n+1}-u_n= -n^2-2n-1+1+n^2-1\)
\(\Leftrightarrow\) \(u_{n+1}-u_n= -2n-1\)
\(n\) est un entier donc \(u_{n+1}-u_n\leq0\)
La suite est donc décroissante.

On sait que pour tout entier \(n\) non nul, \(\dfrac{1}{n} \geq 0\)
donc on a : \( u_n \geq 1\).
Le nombre \(1\) est donc un minorant de cette suite. On sait que pour tout entier \(n\) non nul , \(\dfrac{1}{n} \leq 1\) donc on a : \( u_n \leq 2\).
Le nombre \(2\) est donc un majorant de cette suite. La suite est minorée et majorée, elle est donc bornée.

Étudions le sens de variations de cette suite. Pour cela la méthode consiste à étudier le signe de \(u_{n+1}-u_n\)
On a :
\(u_{n+1}-u_n =\dfrac{1}{n+1} +1- (\dfrac{1}{n} +1) \)
\(\Leftrightarrow\) \(u_{n+1}-u_n =\dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n} \)
En réduisant au même dénominateur, il vient :
\(u_{n+1}-u_n =\dfrac{n-(n+1)}{n(n+1) } \)
\(\Leftrightarrow\) \(u_{n+1}-u_n =\dfrac{-1}{n(n+1) } \)
\(\Leftrightarrow\) \(u_{n+1}-u_n\leq 0\)
La suite est donc décroissante.

On a : \(u_0 = (-1)^0 = 1\)
Si \(n\) est un entier pair, on peut l’écrire sous la forme : \( n= 2k\) avec \(k\) entier.
Ainsi, \((-1)^n = (-1)^{2k} = ((-1)^2)^k = 1^k =1\)
Tous les termes de la suite de puissance paire sont égaux à \(1\).

Si \(n\) est un entier impair, on peut l’écrire sous la forme \(n= 2k+1\) avec \(k\) entier.
Ainsi, \((-1)^n = (-1)^{2k+1} = ((-1)^{2k})\times (-1)^1= 1\times (-1) =-1\)
Tous les termes de la suite de puissance impaire sont égaux à \(-1\)

On dit que cette suite est alternée. Elle est souvent utilisée en mathématiques.
La suite est donc minorée par \(-1\), majorée par \(1\) et donc bornée.
Elle n’est cependant pas monotone puisqu’elle prend alternativement des valeurs positives et négatives.

On a donc \(u_{n+1} – u_n = {u_n}^2 – 2u_n + 2\).
Faisons apparaître une identité remarquable :
\(u_{n+1} – u_n = {u_n}^2 – 2u_n + 1+1\)
\(\Leftrightarrow\) \(u_{n+1} – u_n = (u_n – 1)² + 1\)
Comme un carré est positif ou nul, \((u_n – 1)^2 + 1 > 0\)
La suite est donc strictement croissante.
Son premier terme est donc un minorant et $u$ est donc minorée par $1$

La suite n'a que des termes positifs donc elle est bien sur minorée par \(0\).
Étudions à présent le sens de variation de la suite suivante : \(u_n = \dfrac{4^n}{n^2}\)
On a :
\(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{\dfrac{4^{n+1}}{(n+1)^2}}{\dfrac{4^n}{n^2}}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = {\dfrac{4^{n+1}}{(n+1)^2}}\times {\dfrac{n^2}{4^n}}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}= \dfrac{4n^2}{(n+1)^2}\)

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}= 4\times (\dfrac{n}{n+1})^2\)

\(n\) est un entier non nul donc \(\dfrac{n}{n+1}\geq\dfrac{1}{2}\)
On en déduit que :
\((\dfrac{n}{n+1})^2\geq(\dfrac{1}{2})^2\)
\(\Leftrightarrow\) \((\dfrac{n}{n+1})^2\geq\dfrac{1}{4})\)
En multipliant par 4, il vient :\(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\geq1\)
La suite est donc finalement croissante.