Triangle de Pascal

Le triangle de Pascal 

Le triangle de Pascal permet de trouver les valeurs de $k$ parmi $n$, c’est à dire les coefficients binomiaux.

La première ligne contient les valeurs de $k$ alors que la première colonne contient les valeurs de $n$.

La première colonne ($k = 0$) se remplit à partir de la formule $\left ( \begin{array}{c} n \\ 0 \end{array} \right )  = 1$ 

La diagonale ($k = n$) se remplit à l’aide de la formule $\left ( \begin{array}{c} n \\ n  \end{array} \right )  = 1$.

La deuxième colonne ($k = 1$) se remplit à l’exception de la première case (car $k$ doit être inférieur à $n$) à l’aide de la formule $\left ( \begin{array}{c} n \\ 1 \end{array} \right )  = n$.

Ainsi, par exemple la troisième ligne ($n = 2$) vaut $ \left ( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right )  = 2$. 

Comme $k$ doit être inférieur à $n$, on ne peut remplir que la partie inférieure du tableau : il apparait alors un triangle. 

Pour remplir le reste du tableau, on utilise la formule suivante

$\left ( \begin{array}{c} n \\  k \end{array} \right ) + \left ( \begin{array}{c} n \\ k  + 1\end{array} \right )  = \left ( \begin{array}{c} n + 1 \\ k + 1 \end{array} \right ) $.