Fiche de cours
Coefficients binomiaux - Propriétés
Propriétés :
1) Pour tout $n \in \mathbb{N},$
$\left ( \begin{array}{c} n \\ 0 \end{array} \right ) = 1$ car cela correspond au chemin où il n’y a que des échecs, et il n’y en a qu’un seul.
$\left ( \begin{array}{c} n \\ n \end{array} \right ) = 1$ car cela correspond au chemin où il n’y a que des succès, et il n’y en a qu’un seul.
$\left ( \begin{array}{c} n \\ 1 \end{array} \right ) = n$
2) Pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $0 \leq k \leq n$
$\left ( \begin{array}{c} n \\ n - k \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right ) $, c’est une propriété de symétrie.
3) Pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $0 \leq k \leq n$
$\left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right ) + \left ( \begin{array}{c} n \\ k + 1\end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{c} n + 1 \\ k + 1 \end{array} \right ) $
Exemples :
Calculons $\left ( \begin{array}{c} 6 \\ 5 \end{array} \right ) $ qui est égal à $\left ( \begin{array}{c} 6 \\ 6 - 5 \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{c} 6 \\ 1 \end{array} \right ) = 6 $
Calculons $\left ( \be