Fiche de cours
Coefficients binomiaux
On considère un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ (le nombre de répétitions) et $p$ (la probabilité du succès).
Soit $k$ un entier tel que $0 \leq k \leq n$.
Le coefficient binomial noté $\left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right ) $, que l’on lit $k$ parmi $n$, est égal au nombre de chemins conduisant à $k$ succès "S" dans l’arbre pondéré représentant le schéma de Bernoulli.
Exemple :
Considérons $n = 3$ et $k = 2$. ($0 \leq k \leq 3$)
On cherche à calculer 2 parmi 3, c’est à dire $\left ( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array} \right ) $.
On doit donc compter le nombre de chemins contenant 2 succès : il y a 3 chemins.
Ainsi $\left ( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array} \right ) = 3$.
De même, $\left ( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right ) = 3$.
Ou encore $\left ( \begin{array}{c} 3 \\ 0 \end{array} \right ) = 1$ car il n’y a qu’un chemin avec 0 succès (et donc 3 échecs).