L'énoncé
Cet exercice est un QCM. Cocher la ou les bonnes réponses.
Deux machines (A et B) d’une usine fabriquent des pièces cylindriques destinées à l’industrie automobile.
On a relevé les diamètres (en mm) des pièces fabriquées par chacune des deux machines :
Machine A :
| Diamètre | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 |
| Nombre de pièces | 7 | 16 | 28 | 32 | 20 | 13 | 10 |
Machine B :
| Diamètre | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 |
| Nombre de pièces | 5 | 11 | 30 | 37 | 27 | 9 | 5 |
Tu as obtenu le score de
Question 1
Le diamètre moyen (arrondi à \(10^{-2}\)) des pièces fabriquées est égal à :
43 pour la machine A.
42,96 pour la machine A.
42,94 pour la machine B.
43 pour la machine B.
Tu dois connaître la formule permettant de calculer la moyenne (n’oublie pas de tenir compte des effectifs) : on a \(\large \bar x =\frac{x_1\times n_1+ x_2\times n_2 +...+x_p\times n_p }{n_1+ n_2 +...+n_p}\)
L’effectif total pour la machine A est 126. La formule de la moyenne pour la machine A est : \(\large \frac{(7\times40+16\times41+28\times42+…..)}{126}\). A toi de finir la formule et les calculs !
Utilise aussi le mode « Statistiques » de ta calculatrice.
Arrondis au plus proche en gardant deux chiffres après la virgule.
Pour la machine A :
L’effectif total est : \(7+16+28+32+20+13+10 =126\)
\(\large \bar x = \frac{(40\times7+41\times16+42\times28+43\times32+44\times20+45\times13+46\times10)}{126}=\frac{5413}{126}\normalsize\approx42,96\)
Idem pour la B : on trouve \(x = \frac{5325}{124}\approx42,94\)
Question 2
Lécart-type de ces séries statistiques (arrondi à \(10^{-2}\)) est égal à :
1,59 pour la machine A.
2,51 pour la machine A.
1,35 pour la machine B.
1,83 pour la machine B.
Pour l’écart-type, l’utilisation de la calculatrice est appropriée! Pour t’entrainer, essaie ici de faire le calcul « à la main » pour la machine A, par exemple : il faut commencer par trouver la variance.
Variance : \( V = \large \frac{n_1(x_1-\bar x)^2+ n_2 (x_2-\bar x)^2+...+n_p(x_p-\bar x)^2 }{N}\)
Le début du calcul de \(V\) est : \(V=\large \frac{(7\times(40-42,96)^2+16\times(41-42,96)^2+…)}{126}\).
Tu vois que ce qui se trouve entre parenthèse est facile à calculer de tête, ce qui te permet de gagner un peu de temps lorsque tu tapes cette formule sur la calculatrice.
Puis tu prends la racine carrée de la variance pour avoir l’écart-type : à connaître par cœur !
Pour jouer le jeu ici, voici la formule de la variance pour la machine A :
\( V=\frac{(7\times(40-42,96)^2+16\times(41-42,96)^2+28\times(42-42,96)^2+32\times(43-42,96)^2+20\times(44-42,96)^2+13\times(45-42,96)^2+10\times(46-42,96)^2)}{126}=\frac{316,8016}{126}=2,5143\)
Donc \(\sigma=\sqrt{2,5143}\approx1,59 \)
Pour la machine B, on utilise la calculatrice \(V \approx 1,827\) et \(\sigma\approx1,35 \)
Tu peux aussi prendre la deuxième formule de la variance (machine A toujours) :
\(\large V= \frac{ (7\times40^2+16\times41^2+28\times42^2+32\times43^2+20\times44^2+13\times45^2+10\times46^2)}{126} \normalsize - 42,96^2\)
\(\large V= \frac{ 232 861 }{126 } \normalsize-42,96 ^2 \)
\(V\approx2,54157\)
Puis \(\sigma=\sqrt{V}\approx1,59\)
Il y a souvent des petite erreurs liées aux arrondis dans ces calculs : tu vois que les deux formules donnent des variances légèrement di
Question 3
On peut affirmer que :
En moyenne, les diamètres des pièces fabriquées par ces deux machines sont très proches.
En moyenne, les diamètres des pièces fabriquées par ces deux machines sont très différents.
La machine A est plus régulière que la machine B.
La machine B est plus régulière que la machine A.
Retrouve les valeurs des moyennes trouvées à la question 1.
Quel indicateur sert à mesurer la régularité d’une série statistique ?
Quel est le plus petit des écarts-types ?
Les moyennes sont : 42,96 pour la machine A et 42,94 pour la machine B. Ce sont donc des valeurs très voisines.
L’écart-type sert à voir quelle machine est la plus régulière : comme \(1,35<1,59\), la machine la plus régulière est la machine B.
Question 4
Pour la machine B, le nombre de pièces dont le diamètre est compris entre \(\bar x - \sigma\) et \(\bar x + \sigma\) est égal à :
67
94
105
114
Calcule les valeurs de \(\bar x - \sigma\) et \(\bar x + \sigma\).
\(x =42,94\) et \(\sigma=1,35\)
Tu dois compter les pièces dont le diamètre est entre 41,59 et 44,29.
Le diamètre 41 va-t-il être gardé ? Non, car on veut un diamètre supérieur à 41,59 : les possibilités sont donc 42, 43 et 44 (< 44,29) : compte le nombre de pièces concernées !
On a : \(\bar x - \sigma= 42,94- 1,35= 41,59 \) et \(\bar x + \sigma =42,94 + 1,35= 44,29\)
Il faut trouver le nombre de machine dont le diamètre est compris entre 41,59 et 44,29, soit entre 42 et 44.
Il y en a : \(30+37+27 =94\)
Question 5
Une machine est jugée « performante » si :
1. La moyenne des diamètres vérifie : \(44,90<\bar x <44,95\)
2. Au moins 75% des pièces fabriquées ont un diamètre compris entre \(\bar x - \sigma\) et \(\bar x + \sigma\).
La machine B est performante.
La machine B n’est pas performante.
La machine A est performante.
La machine A n’est pas performante.
Commence par le premier critère sur les moyennes.
Pour la machine B, 94 pièces ont un diamètre vérifiant le deuxième critère.
Le nombre total de pièces fabriquées par cette machine est 124.
Calcule \(\frac{94}{124}\times 100\)
Pour la machine B :
Le premier critère est rempli.
Deuxième critère : on utilise le résultat de la question 4 : 94 pièces ont un diamètre compris entre \(\bar x - \sigma\) et \(\bar x + \sigma\).
En pourcentage : \(\frac{94}{124}\times100 = 75,8 \%\)
Comme \(75,8 \% > 75\%\), la machine B peut être jugée « performante ».
Pour la machine A :
Le premier critère n’est pas rempli : \(\bar x =42,96\) pour la machine A.