L'énoncé
Cet exercice est un QCM. Cochez la ou les bonnes réponses
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Question 1
Le discriminant du trinôme \(-5x^2-4x-10\) est :
$31$
$0$
$-216$
$-184$
Que valent a, b et c ?
Quelle formule pour calculer \(\Delta\) ?
Quelle formule pour calculer \(\Delta\) ?
Il ne faut pas hésiter sur ce type de question : \(a = - 5 \ ; b = - 4\) et \(c = - 10\) et donc \(\Delta = - 184\).
Attention \(b^2 = (- 5)^2 = 25\). Ne confondez pas \((- 5)^2 = 25\) avec \(– 5^2 = - 25\)
Attention \(b^2 = (- 5)^2 = 25\). Ne confondez pas \((- 5)^2 = 25\) avec \(– 5^2 = - 25\)
Question 2
Le trinôme \(4x^2-1,44+4,8x\) admet :
Aucune racine réelle.
Une racine double.
Deux racines distinctes.
Une racine double, qui est $0$.
Que valent a, b et c ? Et \(\Delta\) ?
Quel est le signe de \(\Delta\) ?
Quel est le signe de \(\Delta\) ?
Attention à l'ordre des termes et donc à la valeur des coefficients :
Donc \(a = 4 \ ; b = 4,8\) et \(c = - 1,44\) et donc \(\Delta = 46,08 \).
Ainsi \(\Delta > 0\) et le trinôme admet deux racines !
On ne demande pas de calculer les racines.
Que ce soit pour chercher les racines ou résoudre l'équation \(f(x) = 0\) on procède de la même façon : on calcule \(\Delta\) et on conclut en fonction de son signe.
Donc \(a = 4 \ ; b = 4,8\) et \(c = - 1,44\) et donc \(\Delta = 46,08 \).
Ainsi \(\Delta > 0\) et le trinôme admet deux racines !
On ne demande pas de calculer les racines.
Que ce soit pour chercher les racines ou résoudre l'équation \(f(x) = 0\) on procède de la même façon : on calcule \(\Delta\) et on conclut en fonction de son signe.
Question 3
L'équation \(x^2-4x+2=0\) admet :
Aucune solution.
Deux solutions : \(4- \sqrt{2}\) et \(4+ \sqrt{2}\)
Deux solutions : \(2- \sqrt{2}\) et \(2+ \sqrt{2}\)
Une solution : \(\sqrt{8}\)
Que valent a, b et c ? Et \(\Delta\) ?
Quel est le signe de \(\Delta\) ?
Quelles sont les solutions ?
Comment simplifier l'écriture de \( \sqrt{\Delta}\) ? Attention en simplifiant l'écriture des racines !
Quel est le signe de \(\Delta\) ?
Quelles sont les solutions ?
Comment simplifier l'écriture de \( \sqrt{\Delta}\) ? Attention en simplifiant l'écriture des racines !
Ici \(a = 1 \ ; b = - 4\) et \(c = 2\) et donc \(\Delta = 8\) et l'équation a deux solutions :
\(x_1 = \dfrac{4-\sqrt8}{2}\)
Or \(\sqrt8 = 2\sqrt2\)
Donc \(x_1 = \dfrac{4-2\sqrt2}{2}\)
Soit \(x_1 = 2-\sqrt2\)
• \(x_2 = \dfrac{4+\sqrt8}{2}\)
Donc \(x_2 =\dfrac{4+2\sqrt2}{2}\)
Soit \(x_2 = 2+\sqrt2\)
L'écriture \(\dfrac{4-2\sqrt2}{2}\) n'est PAS ÉGALE à \(4-\sqrt2\) ; on NE PEUT PAS "enlever" le \(2\).
En fait \(= \dfrac{4-2\sqrt2}{2} = \dfrac{2(2-\sqrt2)}{2}= 2-\sqrt2 \)
\(x_1 = \dfrac{4-\sqrt8}{2}\)
Or \(\sqrt8 = 2\sqrt2\)
Donc \(x_1 = \dfrac{4-2\sqrt2}{2}\)
Soit \(x_1 = 2-\sqrt2\)
• \(x_2 = \dfrac{4+\sqrt8}{2}\)
Donc \(x_2 =\dfrac{4+2\sqrt2}{2}\)
Soit \(x_2 = 2+\sqrt2\)
L'écriture \(\dfrac{4-2\sqrt2}{2}\) n'est PAS ÉGALE à \(4-\sqrt2\) ; on NE PEUT PAS "enlever" le \(2\).
En fait \(= \dfrac{4-2\sqrt2}{2} = \dfrac{2(2-\sqrt2)}{2}= 2-\sqrt2 \)
Question 4
Le trinôme \(4x^2+\dfrac{1}{3}x -\dfrac{1}{3} \) admet pour forme factorisée :
Aucune factorisation possible.
\((4x-1)\left(x+ \dfrac{1}{3}\right)\)
\(4\left(x+\dfrac{1}{4}\right)\left(x+ \dfrac{1}{3}\right)\)
\(3\left(x-\dfrac{1}{4}\right)^2\)
Que vaut \(\Delta\) ?
Le trinôme admet-il des racines ?
Quelle est alors sa forme factorisée ? Attention aux signes !
Comment distribuer le $4$ pour obtenir une des réponses proposées ?
Le trinôme admet-il des racines ?
Quelle est alors sa forme factorisée ? Attention aux signes !
Comment distribuer le $4$ pour obtenir une des réponses proposées ?
\(a = 4 \ ; b =\dfrac{1}{3}\) et \(c = -\dfrac{1}{3} \) et donc \(\Delta = \dfrac{1}{9}\normalsize -4\times 4 \times (-\dfrac{1}{3}) = \dfrac{49}{9}\)
Comme \(\Delta > 0\) le trinôme admet deux racines distinctes :
\(x_1 = \dfrac{-\dfrac{1}{3}-\sqrt{\dfrac{49}{9}}}{8}\)
Donc \(x_1 = \dfrac{-\dfrac{1}{3}-\dfrac{7}{3}}{8}\)
Soit \(x_1 =-\dfrac{8}{3} \times \dfrac{1}{8}\)
Et donc \(x_1 =-\dfrac{1}{3}\)
• \(x_2 = \dfrac{-\dfrac{1}{3}+\dfrac{7}{3}}{8}\)
Donc \(x_2 = \dfrac{2}{8}\)
Soit \(x_2 =\dfrac{1}{4}\)
Ainsi \(4x^2+\dfrac{1}{3}x -\dfrac{1}{3} = 4\left(x-\dfrac{1}{4}\right)\left(x-(-\dfrac{1}{3})\right)\)
Or \(4(x-\dfrac{1}{4}) =4x-1\) et donc \(4x^2+\dfrac{1}{3}x -\dfrac{1}{3} = (4x-1)\left(x+\dfrac{1}{3}\right)\)
Comme \(\Delta > 0\) le trinôme admet deux racines distinctes :
\(x_1 = \dfrac{-\dfrac{1}{3}-\sqrt{\dfrac{49}{9}}}{8}\)
Donc \(x_1 = \dfrac{-\dfrac{1}{3}-\dfrac{7}{3}}{8}\)
Soit \(x_1 =-\dfrac{8}{3} \times \dfrac{1}{8}\)
Et donc \(x_1 =-\dfrac{1}{3}\)
• \(x_2 = \dfrac{-\dfrac{1}{3}+\dfrac{7}{3}}{8}\)
Donc \(x_2 = \dfrac{2}{8}\)
Soit \(x_2 =\dfrac{1}{4}\)
Ainsi \(4x^2+\dfrac{1}{3}x -\dfrac{1}{3} = 4\left(x-\dfrac{1}{4}\right)\left(x-(-\dfrac{1}{3})\right)\)
Or \(4(x-\dfrac{1}{4}) =4x-1\) et donc \(4x^2+\dfrac{1}{3}x -\dfrac{1}{3} = (4x-1)\left(x+\dfrac{1}{3}\right)\)
Question 5
Une fonction polynôme du second degré admet le tableau de variations ci-dessous :
Alors, le discriminant du trinôme est :
Positif.
Négatif.
Nul.
On ne peut pas savoir.
Quel est le minimum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) ?
\(f\) peut-elle s'annuler ?
\(f\) peut-elle s'annuler ?
\(f\) a pour minimum \(1\) ; elle ne peut donc jamais être égale à \(0\).
\(C_f\) ne coupe jamais l'axe des abscisses donc \(f\) n'a pas de racine et le discriminant \(\Delta\) est donc négatif.
\(C_f\) ne coupe jamais l'axe des abscisses donc \(f\) n'a pas de racine et le discriminant \(\Delta\) est donc négatif.