L'énoncé
Soit le polynôme : $P(x)=3x^3+x^2+4x+6$
Question 1
Donner une racine évidente du polynôme.
La racine évidente est $-1$, en effet $P(-1)=-3+1-4+6=0$.
On cherche un réel simple (entier de préférence) $x_0$ tel que $P(x_0)=0$
Tester les valeurs classiques:$ -2,-1,0,1,2$.
Question 2
On peut alors écrire le polynôme sous la forme:$P(x)=(x+1)(ax^2+bx+c)$.
Ecrire le système d'équation qui permet de trouver $a,b$ et $c$.
En développant le polynôme on peut écrire :
$P(x)=ax^3+bx^2+cx+ax^2+bx+c$.
$P(x)= ax^3+ (b+a)x^2 + (c+b)x +c$
On identifie ce polynôme à $P(x)=3x^3+x^2+4x+6$
Le système d'équations est:
$\left \{ \begin{array}{rccc} a=3 \\ a+b=1\\b+c=4\\ c=6 \end{array} \right.$
Question 3
Résoudre le système d'équations et donner la forme factorisée du polynôme.
En résolvant le système on obtient : $ \left \{ \begin{array}{rccc} a=3 \\ b=-2\\ c=6 \end{array} \right.$
La forme factorisée est : $P(x)=(x+1)(3x^2-2x+6)$.
On peut vérifier en développant l'expression:
$(x+1)(3x^2-2x+6)=3x^3-2x^2+6x+3x^2-2x+6$
$(x+1)(3x^2-2x+6)=3x^3+(-2+3)x^2+(6-2)x+6$
$(x+1)(3x^2-2x+6)=3x^3+x^2+4x+6$
$(x+1)(3x^2-2x+6)=P(x)$
Question 4
Calculer le discriminant du polynôme de degré deux trouvé précédemment.
Le discriminant vaut :$\Delta=4-72=-68$.
Question 5
Le polynôme de degré deux est il factorisable?
En déduire la forme factorisée du polynôme $P$.
Il n'y a pas de factorisation possible dans $\mathbb{R}$ pour le polynôme de degré $2$ car son discriminant est négatif.
La forme factorisée est finalement : $P(x)=(x+1)(3x^2-2x+6)$.