L'énoncé
Répondre aux questions, il n'y a qu'une bonne réponse par question.
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Question 1
Donner la racine évidente de $6x^3+2x^2+8x+12$.
$0$
$1$
$2$
$-1$
On remplace $x$ par $-1$ dans $6x^3+2x^2+8x+12$ et on trouve $0$
Question 2
Factoriser le polynôme $3x^3+8x^2+2x$
$3x(x-9)(x-1)$
$(x-3)(x-1)(x-2)$
$3x\left(x-\dfrac{-8+\sqrt{40}}{6}\right)\left(x+\dfrac{8+\sqrt{40}}{6}\right)$
$(x-2)(3x^2+2x-1)$
Remarquer qu'il n'y a pas de terme d'ordre zéro.
Remarquer qu'il n'y pas de terme de degré zéro donc que $0$ est une solution évidente et que l'on peut factoriser par $x$.
On peut alors écrire le polynôme sous la forme $x(3x^2+8x+2)$. Le discriminant du polynôme du second degré est : $\Delta=40$
On peut donc factoriser ce polynôme sous la forme $3\left(x-\dfrac{-8+\sqrt{40}}{6}\right)\left(x+\dfrac{8+\sqrt{40}}{6}\right)$.
La factorisation du polynôme initial est alors $3x\left(x-\dfrac{-8+\sqrt{40}}{6}\right)\left(x+\dfrac{8+\sqrt{40}}{6}\right)$.
Question 3
Soit le polynôme $2x^3+3x^2-4x-5$ que l'on peut écrire sous la forme: $(x+1)(ax^2+bx+c)$.
Donner les valeur de $a,b,c$
$a=-2$ , $b=1$ , $c=-5$
$a=3$ , $b=4$ , $c=6$
$a=2$ , $b=-1$ , $c=5$
$a=2$ , $b=1$ , $c=-5$
Le développement donne
$(x+1)(ax^2+bx+c)=ax^3+bx^2+cx+ax^2+bx+c$
$(x+1)(ax^2+bx+c)=ax^3+(a+b)x^2+(b+c)x+c$
$2x^3+3x^2-4x-5=ax^3+(a+b)x^2+(b+c)x+c$
On identifie les coefficients et on obtient :
$a=2$ ; $a+b=3$ ; $b+c=-4$ ; $c=-5$
donc $a=2$ , $b=1$ , $c=-5$
Question 4
Le polynôme $9x^3-7x^2+2x-4$ admet-il une racine parmi celles-ci ? Si oui la donner.
$1$
$4$
Non.
$-3$
Remarquer que la somme des coefficients vaut $9-7+2-4=0$.
Dans ce genre de question toujours calculer la valeur du polynôme pour des valeur de $x$ simples comme $1$ ; $2$ ; $-1$ et $-2$.
Question 5
Donner la forme factorisée du polynôme $3x^3+5x^2+4x+2$.
$(x+1)(3x^2+2x+2)$
$(x+1)(3x^2-x+3)$
$(x+2)(x-1)(x+1)$
$3x(x-2)(x+1)$
Remarquer que $-1$ est solution évidente . Le polynôme se met sous la forme $(x+1)(3x^2+2x+2)$.
Le discriminant du polynôme du second degré vaut: $\Delta=-20$.
Il n'y a pas d'autre racine dans $\mathbb{R}$.
La forme factorisée est donc $(x+1)(3x^2+2x+2)$.
Question 6
Quelle est la racine évidente de $P(x)=10x^3-x^2+x-10$ ?
$0$
$1$
$-1$
$-2$
Question 7
Quelle est la racine évidente de $P(x)=2x^3+4x^2+5x+10$ ?
$-1$
$1$
$-2$
$2$
Question 8
Quelle est la racine évidente de $P(x)=28x^3-14x^2+6x-20$ ?
$-1$
$1$
$-2$
$2$
Question 9
Quelle est la racine évidente de $P(x)=7x^3+4x^2+2x+5$ ?
$-1$
$1$
$-2$
$2$
Question 10
Quelle est la racine évidente de $P(x)=x^3+3x^2+10x$ ?
$-1$
$1$
$-2$
$0$
En effet, on peut factoriser par $x$ l'expression.