L'énoncé
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Question 1
Quelle est la forme factorisée du polynôme suivant : $3x^2+6x+3$
$(3x-3)(x+3)$
$3(x+1)^2$
$3(x+1)(x+2)$
Ce polynôme n'a pas de forme factorisée.
Calculer le discriminant.
Remarquer que l'on peut factoriser par $3$.
$3x^2+6x+3=3(x^2+2x+1)$
On reconnait alors une identité remarque $(x+1)^2$
$3x^2+6x+3=3(x+1)^2$
Question 2
Quelle est la forme factorisée du polynôme : $2x^2+5x-3$
$2\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\left(x+3\right)$
$2\left(x+ \dfrac{3}{2}\right)^2$
$2\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\left(x-3\right)$
$2(x+2)(x-5)$
Le calcul du discriminant donne $49=7^2$.
On peut alors utiliser les formules des racines pour avoir $\dfrac{1}{2}$ et $-3$.
Ainsi :
$2x^2+5x-3=2\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\left(x+3\right)$
Question 3
Le polynôme $2x^2-4x+7$ est il factorisable ?
Oui.
Non.
Calculer le discriminant.
Le discriminant vaut $-40$. Il est négatif donc pas de factorisation possible.
Question 4
Quelles sont les racines évidentes du polynôme : $3x^2-5x+2$
$\dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{3}{2}$
$\dfrac{2}{3}$ et $1$
$\dfrac{5}{3}$ et $1$
$\dfrac{3}{5}$ et $\dfrac{2}{5}$
Remarquer que $1$ est racine évidente.
Penser à la formule reliant les racines.
On remarque que $a+b+c=0$ donc $1$ est solution est évidente.
On utilise alors la formule sur le produit des racines, dans notre cas :
$P=\dfrac{c}{a}$ donc la seconde racine est $\dfrac{2}{3}$.
Question 5
Le polynôme $3x^2-5x$ a pour racines:
$0$ et $\dfrac{-3}{5}$
$0$ et $\dfrac{3}{5}$
$0$ et $\dfrac{5}{3}$
$\dfrac{5}{3}$ et $\dfrac{-3}{5}$
Remarquer que $c=0$.
On peut factoriser par $x$.
Utiliser la formule reliant la somme des racines.
Remarquer que $c=0$ donc on peut mettre $x $en facteur,
$3x^2-5x=x(3x-5)$
Donc $0$ est une racine évidente.
Reste alors une équation $3x-5=0$ d'où $x=\dfrac{5}{3}$
Question 6
$P(x)=9x^2+2x+10$ est-il factorisable ?
Oui
Non
Question 7
Le polynome $11x^2+4x$ a pour racines :
$0$ et $11$
$0$ et $\dfrac{-4}{11}$
$0$ et $\dfrac{4}{11}$
$1$ et $\dfrac{-4}{-11}$
Question 8
$4x^2+14x-1$ est-il factorisable ?
Oui
Non
Question 9
Quelle est la forme factorisée de $x^2+2x-4$ ?
$(x+1+\sqrt {5})(x+1-\sqrt{5})$
$(x-1-\sqrt {5})^2$
$(x+2+\sqrt {10})(x+2-\sqrt{10})$
Il n'y a pas de factorisation possible.
Question 10
Quelles sont les racines de $5x^2+4x-1$ ?
$x_1=\dfrac {-1}{5}$ et $x_2=1$
$x_1=\dfrac {1}{5}$ et $x_2=-1$
$x_1=\dfrac {2}{5}$ et $x_2=-2$
Ce polynome n'a pas de racines.