L'énoncé
Voici un triangle quelconque $ABC$.
$A'$, $B'$ et $C'$ sont respectivement les milieux de $[BC], [AC]$ et $[AB]. $
Tu as obtenu le score de
Question 1
Le point $G$ est :
(Justifier)
Au centre de gravité du triangle.
A l’orthocentre du triangle.
Au barycentre du triangle.
Les droites (AA'), (BB') et (CC') sont les médianes du triangle $ABC$.
$G$ est le centre de gravité du triangle car c'est l’intersection de ses trois médianes.
Question 2
$\overrightarrow{AG}$ est égal à :
$\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AA’}$.
$\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AA’}$.
$\dfrac{1}{3}\overrightarrow{GA’}$.
Il faut utiliser le fait que $G$ soit le centre de gravité du triangle $ABC$ ainsi que ses propriétés associées.
Comme $G$ est le centre de gravité du triangle $ABC$, d’après ses propriétés on a :
$\overrightarrow{AG}= \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AA’}$.
Question 3
Le vecteur $\overrightarrow{AG}$ vaut également :
(Justifier)
$2\overrightarrow{GA}$.
$-\overrightarrow{GA}$.
$2\overrightarrow{GA’}$.
Ne pas hésiter à utiliser la relation de Chasles.
$\overrightarrow{AG}= -\overrightarrow{GA}$.
$\overrightarrow{AG}= \dfrac{2}{3}(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GA’})=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AG}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{GA’}$.
$\overrightarrow{AG}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AG}= \dfrac{2}{3}\overrightarrow{GA’}$
$\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{GA’}$
$\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{GA’}$.
Question 4
$\overrightarrow{GA’}+\overrightarrow{GB’}+\overrightarrow{GC’}$ vaut :
(Justifier)
$\overrightarrow{0}$.
$\overrightarrow{1}$.
$\overrightarrow{GA}$.
Il faut utiliser le fait que $G$ soit le centre de gravité du triangle ainsi que le fait que certains points soient alignés.
$G$ est le centre de gravité du triangle $ABC$. Par conséquent, $G$ appartient à [AA’] et
$\overrightarrow{GA’}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{GA}$,
De même, $\overrightarrow{GB’}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{GB}$ et
Ainsi que $\overrightarrow{GC’}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{GC}$.
Donc,
$\overrightarrow{GA’}+\overrightarrow{GB’}+\overrightarrow{GC’} =-\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})$
$\overrightarrow{GA’}+\overrightarrow{GB’}+\overrightarrow{GC’}=\overrightarrow{0}$.
Question 5
Pour tout point $M$ du plan, on a : $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=$ :
(Justifier)
$3\overrightarrow{GA}$.
$2\overrightarrow{MG}$.
$3\overrightarrow{MG}$.
Utiliser la relation de Chasles pour faire apparaitre le point $G$.
$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} = (\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC})+(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB})+(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}) = 3\overrightarrow{MG}$.
Car
$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$ puisque $G$ est le centre de gravité du triangle $ABC$.