L'énoncé
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Question 1
On note $A’$ le milieu de $[BC]$ tel que :
$\overrightarrow{BA’} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.
$\overrightarrow{CA’} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}$.
$\overrightarrow{BC} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA’}$.
$A’$ étant le milieu du segment $[BC]$, on considère que $\overrightarrow{BA’} = \overrightarrow{A’C} =\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.
Mais aussi que $\overrightarrow{CA’} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}$.
Question 2
$ABC$ est un triangle avec $G$ son centre de gravité. $B’$ est le milieu de $[AC]$. On a :
$\overrightarrow{BG} =\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BB’}$.
$\overrightarrow{BG}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AG}$.
$\overrightarrow{BG} =\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BB’}$.
$B’$ étant le milieu de $[AC]$ et G le centre de gravité du triangle.
Par définition, $\overrightarrow{BG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{BB’}$.
De plus,
$\overrightarrow{BG}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{BG}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG}$
On utilise la relation de Chasles :
$\overrightarrow{BG}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AG}$.
Question 3
Dans un triangle $ABC$ avec G le centre de gravité du triangle, la somme $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$ vaut :
1.
$\overrightarrow{0}$.
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CA}$.
Dans un triangle, la somme $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$, avec G centre de gravité du triangle, vaut par définition $\overrightarrow{0}$.
Question 4
Dans un triangle $ABC$ avec G son centre de gravité du triangle, l'expression $GA^2+GB^2+GC^2$ est :
un réel positif
Identique dans tous les triangles.
Propre à chaque triangle.
$GA^2+GB^2+GC^2$ est une valeur fixe dans le triangle.
C'est un somme de trois carrés de 3 longueurs donc c'est un réel positif .
Elle dépend du triangle puisqu'elle dépend des longueurs $GA$ , $GB$ et $GC$.
Question 5
$ABC$ un triangle avec $G$ son centre de gravité. A tout point $M$ du plan, on associe le réel $f(M)=MA^2+MB^2+MC^2$.
$f$ admet un minimum lorsque $M=G$
$f(G)$ est une constante.
$f(G)=f(M)$ pour tout point $M$
D’après la démonstration de la vidéo, si $M=G$, on a : $f(G)= GA^2+GB^2+GC^2$.
On a vu précédemment que cela correspondait à une constante, propre à chaque triangle.
De plus, la fonction $f$ admet un minimum pour $M=G$.