L'énoncé
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Question 1
\(g\) est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = (x^2-1)(-2x + 2)+3x\) et dérivable sur \(\mathbb{R}\). Alors,
\(g '(x) = - 4x + 3\)
\(g '(x) = - 6x^2 + 4x + 5\)
\(g '(1) = 3\)
\(g '(2) = - 1\)
Est-ce une somme, un produit, un inverse, un quotient ?
Le produit de quelles fonctions ?
Quelle est la formule associée ?
Que vaut alors \(g '(2)\) ?
Le produit de quelles fonctions ?
Quelle est la formule associée ?
Que vaut alors \(g '(2)\) ?
\(g = uv+w \text{ avec }
\begin{equation}
\left\{
\begin{split}
u(x) = x^2-1 \text { et } v(x) = -2x+2 \text{ et } w(x)=3x\\
u’(x) = 2x \text{ et } v’(x) = - 2 \text{ et } w'(x)=3
\end{split}
\right.
\end{equation}\)
\(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et :
\(g' = u'v + uv'+w'\)
Ainsi, pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\),
\(g '(x) = 2x(-2x+2)+(x^2 - 1) +(x^2-1)(-2)+3\)
\(g '(x) = - 6x^2 + 4x + 5\)
En particulier, \(g '(1) = - 6 + 4 + 5 = 3\).
\(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et :
\(g' = u'v + uv'+w'\)
Ainsi, pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\),
\(g '(x) = 2x(-2x+2)+(x^2 - 1) +(x^2-1)(-2)+3\)
\(g '(x) = - 6x^2 + 4x + 5\)
En particulier, \(g '(1) = - 6 + 4 + 5 = 3\).
Question 2
Quelle est la dérivée sur \(\mathbb{R}\setminus\{\frac{3}{2}\}\) de la fonction définie par \(h(x)= \dfrac{-4}{3-2x}\)
\(h '(x) = \dfrac{-8}{(3-2x)^2}\)
\(h '(x) = \dfrac{4}{(3-2x)^2}\)
\(h '(x) = \dfrac{-4}{(3-2x)^2}\)
\(h '(x) = \dfrac{8}{(3-2x)^2}\)
Est-ce une somme, un produit, un inverse, un quotient ?
Le quotient de quelles fonctions ?
Quelle est la formule associée ?
Le quotient de quelles fonctions ?
Quelle est la formule associée ?
\(h = \dfrac{u}{v} \text{ avec }
\begin{equation}
\left\{
\begin{split}
u(x) = -4 \text { et } v(x) = 3- 2x\\
u’(x) = 0 \text{ et } v’(x) = -2
\end{split}
\right.
\end{equation}\)
\(h\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\setminus\{\frac{3}{2}\}\) et
\(h ' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\)
Ainsi, pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\setminus\{\frac{3}{2}\}\) ,
\(h '(x) = \dfrac{(- 4)\times(-2)}{(3-2x)^2}\)
\(h '(x) = \dfrac{-8}{(3-2x)^2}\)
On peut aussi écrire que \(h = -4 \times \dfrac{1}{v}\) avec \(v(x) = 3-2x\) et \(v’(x) = -2\)
\(h\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\setminus\{\frac{3}{2}\}\) et
\(h ' = -4 \times \dfrac{ -v'}{v^2}\)
Ainsi, pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\setminus\{\frac{3}{2}\}\) ,
\(h '(x) = \dfrac{- 8}{(3-2x)^2}\).
\(h\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\setminus\{\frac{3}{2}\}\) et
\(h ' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\)
Ainsi, pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\setminus\{\frac{3}{2}\}\) ,
\(h '(x) = \dfrac{(- 4)\times(-2)}{(3-2x)^2}\)
\(h '(x) = \dfrac{-8}{(3-2x)^2}\)
On peut aussi écrire que \(h = -4 \times \dfrac{1}{v}\) avec \(v(x) = 3-2x\) et \(v’(x) = -2\)
\(h\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\setminus\{\frac{3}{2}\}\) et
\(h ' = -4 \times \dfrac{ -v'}{v^2}\)
Ainsi, pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\setminus\{\frac{3}{2}\}\) ,
\(h '(x) = \dfrac{- 8}{(3-2x)^2}\).
Question 3
Quelle est la dérivée sur \(\mathbb{R}\setminus\{3\}\) de la fonction définie par \(f(x)= \dfrac{(x^2 + 2x+1)}{3-x}\) ?
\(f’(x) = -(2x + 2) \)
\(f’(x) = \dfrac{-x^2 + 6x +7}{ (x ^2 + 2x + 1)^2}\)
\(f’(x) = \dfrac{-x^2 + 6x +7}{(3 -x)^2}\)
\(f’(x) = \dfrac{-x^2 + 2x +5}{(3-x)^2}\)
Est-ce une somme, un produit, un inverse, un quotient ?
Le quotient de quelles fonctions ?
Quelle est la formule associée ?
Le quotient de quelles fonctions ?
Quelle est la formule associée ?
\(f = \dfrac{u}{v} \text{ avec }
\begin{equation}
\left\{
\begin{split}
u(x) = x^2 + 2x + 1 \text{ et } v(x) = 3 - x\\
u’(x) = 2x + 2 \text{ et } v’(x) = - 1
\end{split}
\right.
\end{equation}\)
\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\setminus\{3\}\) et
\(f ' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\)
Ainsi, pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\setminus\{3\}\):
\(f’(x) = \dfrac{(2x+2)(3-x) +x^2 + 2x + 1}{(3-x)^2}\)
\(f’(x) = \dfrac{6x - 2x^2 + 6 - 2x + x^2 + 2x + 1}{(3-x)^2}\)
\(f’(x) = \dfrac{-x^2 + 6x +7}{(3-x)^2}\)
Il est inutile de développer le dénominateur en utilisant une identité remarquable :Vous verrez un peu plus tard dans l’année qu’on a besoin d’étudier le signe de la dérivée : donc, on garde le \((3-x)^2\), dont le signe est très facile à trouver….
\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\setminus\{3\}\) et
\(f ' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\)
Ainsi, pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\setminus\{3\}\):
\(f’(x) = \dfrac{(2x+2)(3-x) +x^2 + 2x + 1}{(3-x)^2}\)
\(f’(x) = \dfrac{6x - 2x^2 + 6 - 2x + x^2 + 2x + 1}{(3-x)^2}\)
\(f’(x) = \dfrac{-x^2 + 6x +7}{(3-x)^2}\)
Il est inutile de développer le dénominateur en utilisant une identité remarquable :Vous verrez un peu plus tard dans l’année qu’on a besoin d’étudier le signe de la dérivée : donc, on garde le \((3-x)^2\), dont le signe est très facile à trouver….
Question 4
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{4\}\) par \(f(x) = \dfrac{1+3x}{-x + 4}\).
La tangente à la courbe représentative de \(f\) en \(x = 3\) a pour équation :
\(y = - 13x + 49\)
\(y = 13x -29\)
\(y = -3x +19\)
\(y = x + 7\)
Quelle est la formule de l'équation de cette tangente ?
On a donc besoin de \(f '(3)\) et de \(f(3)\). Comment les calculer ?
Calculer \(f’(x)\) : c’est un quotient, on utilise la formule sur \(\large\frac{u}{v}\)
On a donc besoin de \(f '(3)\) et de \(f(3)\). Comment les calculer ?
Calculer \(f’(x)\) : c’est un quotient, on utilise la formule sur \(\large\frac{u}{v}\)
La tangente \(T\) a pour équation : \(y = f '(3) ( x – 3) + f(3)\)
On a \(f(3) = 10\).
Calculons \(f '(3)\) et pour cela \(f’(x)\) :
\(f = \dfrac{u}{v} \text { avec } \begin{equation} \left\{ \begin{split} u(x) = 1+3x \text { et } v(x) = -x +4\\ u’(x) = 3 \text { et } v’(x) = -1 \end{split} \right. \end{equation}\)
\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\setminus\{4\}\) et \(f ' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\)
Ainsi, pour tout \(x\) de\(\mathbb{R}\setminus\{4\}\),
\(f’(x) = \dfrac{-3x+12 +1+3x}{(-x +4)^2}\)
\(f’(x) = \dfrac{13}{(-x +4)^2}\)
En particulier, \(f '(3) = 13\)
La tangente \(T\) a donc pour équation : \(y = 13( x – 3) + 10\) soit \(y = 13x -29\)
On a \(f(3) = 10\).
Calculons \(f '(3)\) et pour cela \(f’(x)\) :
\(f = \dfrac{u}{v} \text { avec } \begin{equation} \left\{ \begin{split} u(x) = 1+3x \text { et } v(x) = -x +4\\ u’(x) = 3 \text { et } v’(x) = -1 \end{split} \right. \end{equation}\)
\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\setminus\{4\}\) et \(f ' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\)
Ainsi, pour tout \(x\) de\(\mathbb{R}\setminus\{4\}\),
\(f’(x) = \dfrac{-3x+12 +1+3x}{(-x +4)^2}\)
\(f’(x) = \dfrac{13}{(-x +4)^2}\)
En particulier, \(f '(3) = 13\)
La tangente \(T\) a donc pour équation : \(y = 13( x – 3) + 10\) soit \(y = 13x -29\)
Question 5
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \( f(x) = 2x^3 + 6x^2 + 18x - 6\).
La courbe représentative de \(f\), notée \(C_f\), admet :
Aucune tangente horizontale.
Une tangente horizontale.
Deux tangentes horizontales.
Trois tangentes horizontales.
Quel est le lien entre tangente horizontale et dérivé ?
Quel est le coefficient directeur de la tangente si elle est horizontale ?
A quelle condition sur \(\setminus{f’(x)}\) la tangente est-elle horizontale ?
Il faut résoudre \({f’(x)} = 0\).
Quel est le coefficient directeur de la tangente si elle est horizontale ?
A quelle condition sur \(\setminus{f’(x)}\) la tangente est-elle horizontale ?
Il faut résoudre \({f’(x)} = 0\).
Le coefficient directeur de la tangente en \(a\) est \(f '(a)\).
Une tangente horizontale a un coefficient directeur nul. On cherche donc s'il existe des points en lesquels on a \(f’(x) = 0\).
\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout \(x\) de \(\mathbb{R} , f’(x) = 6x^2 + 12x + 18\).
Pour tout \(x\) de \(\mathbb{R} , f’(x) = 0 \Leftrightarrow 6x^2 + 12x + 18 = 0\)
Soit \(\Delta\) le discriminant de ce polynôme; on a :
\(\Delta = - 288\)
\(\Delta< 0\), donc l'équation \(f’(x) = 0\) n'admet aucune solution et donc \(C_f\) n'admet aucune tangente horizontale.
Une tangente horizontale a un coefficient directeur nul. On cherche donc s'il existe des points en lesquels on a \(f’(x) = 0\).
\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout \(x\) de \(\mathbb{R} , f’(x) = 6x^2 + 12x + 18\).
Pour tout \(x\) de \(\mathbb{R} , f’(x) = 0 \Leftrightarrow 6x^2 + 12x + 18 = 0\)
Soit \(\Delta\) le discriminant de ce polynôme; on a :
\(\Delta = - 288\)
\(\Delta< 0\), donc l'équation \(f’(x) = 0\) n'admet aucune solution et donc \(C_f\) n'admet aucune tangente horizontale.