L'énoncé
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Question 1
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^{2014}\) et \(C_f\) sa courbe représentative.
L’équation \(f'(x) = 0\) a une unique solution.
L’équation \(f '(x) = 0\) n’a aucune solution.
\(C_f\) n'admet aucune tangente horizontale.
\(C_f\) admet une tangente horizontale.
Quel est le coefficient directeur d’une tangente horizontale ?
Est-ce possible pour cette fonction ?
Calcule \(f '(x)\) et résous l’équation proposée.
Est-ce possible pour cette fonction ?
Calcule \(f '(x)\) et résous l’équation proposée.
Le coefficient directeur d’une tangente à \(C_f\) en \(a\) est \(f '(a)\).
Dire que \(C_f\) admet une tangente horizontale en \(a\) signifie que \(f '(a) = 0\).
\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\) on a :
\(f '(x) = 2014x^{2013}\)
Pour tout réel \(x\) on a :
\(f '(x) = 0 \Leftrightarrow 2014x^{2013} = 0\Leftrightarrow x = 0\)
L’équation \(f '(x) = 0\) a donc une unique solution et, par conséquent, \(C_f\) admet une tangente horizontale.
Dire que \(C_f\) admet une tangente horizontale en \(a\) signifie que \(f '(a) = 0\).
\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\) on a :
\(f '(x) = 2014x^{2013}\)
Pour tout réel \(x\) on a :
\(f '(x) = 0 \Leftrightarrow 2014x^{2013} = 0\Leftrightarrow x = 0\)
L’équation \(f '(x) = 0\) a donc une unique solution et, par conséquent, \(C_f\) admet une tangente horizontale.
Question 2
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\)* par \(f(x) = \dfrac{1}{x}\).
Alors \(C_f\) admet une tangente parallèle à la droite \((d)\) d'équation \(y = - 2x - 5\) au point :
\(a = 2\)
\(a = - 2\)
\(a = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) et en \(a = \dfrac{-\sqrt{2}}{2}\)
\(a = \dfrac{-\sqrt{2}}{2}\) uniquement
Quel est le coefficient directeur de la droite \((d)\) ?
Quel est le coefficient directeur d’une droite parallèle à la droite \((d)\) ?
Quel est le coefficient directeur d’une tangente ?
Quelle équation faut-il alors résoudre ?
Quel est le coefficient directeur d’une droite parallèle à la droite \((d)\) ?
Quel est le coefficient directeur d’une tangente ?
Quelle équation faut-il alors résoudre ?
Le coefficient directeur de \((d)\) est \(-2\). Toute droite parallèle à \((d)\) a pour coefficient directeur \(-2\).
Le coefficient directeur d’une tangente à \(C_f\) en \(a\) est \(f '(a)\)
On cherche donc si l'équation \(f ‘(x) = -2\) a, ou non, des solutions sur \(\mathbb{R}\)*
Pour tous réels \(x\) non nuls,
\(\begin{align*}f '(x) = -2& \Leftrightarrow \dfrac{-1}{x^2} = -2 \\ &\Leftrightarrow x^2 = \dfrac{1}{2}\\ &\Leftrightarrow x = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \quad \mbox{ou} \quad x = \dfrac{-1}{\sqrt{2}} \\ &\Leftrightarrow x = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \quad \mbox{ou} \quad x = \dfrac{- \sqrt{2}}{2} \end{align*}\)
Conclusion :
En \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) et en \(\dfrac{- \sqrt{2}}{2}\), \(C_f\) admet une tangente de coefficient directeur \(–2\) et donc parallèle à \((d)\).
Le coefficient directeur d’une tangente à \(C_f\) en \(a\) est \(f '(a)\)
On cherche donc si l'équation \(f ‘(x) = -2\) a, ou non, des solutions sur \(\mathbb{R}\)*
Pour tous réels \(x\) non nuls,
\(\begin{align*}f '(x) = -2& \Leftrightarrow \dfrac{-1}{x^2} = -2 \\ &\Leftrightarrow x^2 = \dfrac{1}{2}\\ &\Leftrightarrow x = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \quad \mbox{ou} \quad x = \dfrac{-1}{\sqrt{2}} \\ &\Leftrightarrow x = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \quad \mbox{ou} \quad x = \dfrac{- \sqrt{2}}{2} \end{align*}\)
Conclusion :
En \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) et en \(\dfrac{- \sqrt{2}}{2}\), \(C_f\) admet une tangente de coefficient directeur \(–2\) et donc parallèle à \((d)\).
Question 3
Soit \(f\) la fonction définie sur \([0 ; +\infty[\) par \(f(x) = \sqrt{x}\).
Alors \(C_f\) admet une tangente parallèle à la droite \((d)\) déquation \(y = 5x + 4\) en :
\(a = \dfrac{1}{5}\)
\(a = \dfrac{1}{10}\)
\(a = \dfrac{1}{100}\)
\(a = \dfrac{1}{\sqrt{10}}\)
Quel est le coefficient directeur de la droite \((d)\) ?
Quel est le coefficient directeur d’une droite parallèle à la droite \((d)\) ?
Quel est le coefficient directeur d’une tangente ?
Quelle équation faut-il alors résoudre ?
Quel est le coefficient directeur d’une droite parallèle à la droite \((d)\) ?
Quel est le coefficient directeur d’une tangente ?
Quelle équation faut-il alors résoudre ?
Le coefficient directeur de \((d)\) est \(5\). Toute droite parallèle à \((d)\) a pour coefficient directeur \(5\).
Le coefficient directeur d’une tangente à \(C_f\) en \(a\) est \(f '(a)\).
On cherche donc si l'équation \(f '(x) = 5\) a, ou non, des solutions sur \(]0 ; +\infty[\).
Pour tous réels \(x > 0\),
\(\begin{align*}f '(x) = 5 & \Leftrightarrow \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = 5\\ & \Leftrightarrow \sqrt{x} = \dfrac{1}{10} \\ & \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{100} \end{align*}\)
Conclusion :
En \(\dfrac{1}{100}\), \(C_f\) admet une tangente de coefficient directeur \(5\) et donc parallèle à \((d)\).
Le coefficient directeur d’une tangente à \(C_f\) en \(a\) est \(f '(a)\).
On cherche donc si l'équation \(f '(x) = 5\) a, ou non, des solutions sur \(]0 ; +\infty[\).
Pour tous réels \(x > 0\),
\(\begin{align*}f '(x) = 5 & \Leftrightarrow \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = 5\\ & \Leftrightarrow \sqrt{x} = \dfrac{1}{10} \\ & \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{100} \end{align*}\)
Conclusion :
En \(\dfrac{1}{100}\), \(C_f\) admet une tangente de coefficient directeur \(5\) et donc parallèle à \((d)\).
Question 4
Les courbes représentatives des fonctions \(x \rightarrow x^3\) et \(x \rightarrow x^4\) ont :
Leurs tangentes parallèles en \(0\) et en \(\dfrac{3}{4}\).
Leurs tangentes parallèles en $0$ et en \(\dfrac{-3}{4}\).
Leurs tangentes parallèles en \(\dfrac{3}{4}\).
Leurs tangentes parallèles en \(\dfrac{-3}{4}\).
Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.
Quel est le coefficient directeur d'une tangente à la courbe de la fonction \(x \rightarrow x^3\)
Quel est le coefficient directeur d'une tangente à la courbe de la fonction \(x \rightarrow x^4\) ?
Quels sont les deux coefficients directeurs qui doivent donc être égaux ?
Résoudre alors l'équation associée.
Quel est le coefficient directeur d'une tangente à la courbe de la fonction \(x \rightarrow x^3\)
Quel est le coefficient directeur d'une tangente à la courbe de la fonction \(x \rightarrow x^4\) ?
Quels sont les deux coefficients directeurs qui doivent donc être égaux ?
Résoudre alors l'équation associée.
La fonction \(f : x \rightarrow x^3\) a pour dérivée sur : \(f '(x) = 3x^2\).
La fonction \(g : x \rightarrow x^4\) a pour dérivée sur \(\mathbb{R}\): \(g '(x) = 4x^3\).
Pour \(x \in \mathbb{R}\) ,
\( \begin{align*} 4x^3 = 3x^2 & \Leftrightarrow 4x^3 - 3x ^2 = 0 \\ & \Leftrightarrow x^2(4x – 3) = 0 \\ & \Leftrightarrow x = 0 \quad \mbox{ou} \quad 4x – 3 = 0\\ & \Leftrightarrow x = 0 \quad \mbox{ou} \quad x = \dfrac{3}{4} \end{align*}\)
S =\left{ 0 ; \dfrac{3}{4}\right} et \(C_f\) et \(C_g\) ont deux tangentes parallèles en \(0\) et \(\dfrac{3}{4}\).
La fonction \(g : x \rightarrow x^4\) a pour dérivée sur \(\mathbb{R}\): \(g '(x) = 4x^3\).
Pour \(x \in \mathbb{R}\) ,
\( \begin{align*} 4x^3 = 3x^2 & \Leftrightarrow 4x^3 - 3x ^2 = 0 \\ & \Leftrightarrow x^2(4x – 3) = 0 \\ & \Leftrightarrow x = 0 \quad \mbox{ou} \quad 4x – 3 = 0\\ & \Leftrightarrow x = 0 \quad \mbox{ou} \quad x = \dfrac{3}{4} \end{align*}\)
S =\left{ 0 ; \dfrac{3}{4}\right} et \(C_f\) et \(C_g\) ont deux tangentes parallèles en \(0\) et \(\dfrac{3}{4}\).
Question 5
La tangente à la courbe représentative de la fonction \(f : x \rightarrow x^5\) en un point $(a;f(a))$ a pour équation \(y = 5x + 4\).
Est-ce en :
\(a = \dfrac{1}{4}\)
\(a = \dfrac{-1}{4}\)
\(a = 1\)
\(a = - 1\)
A quoi correspond \(5\) pour \(f\) ?
Que vaut \(f '(x)\) ?
Quelle équation résoudre ?
Que vaut \(f '(x)\) ?
Quelle équation résoudre ?
Si \(T\) est une tangente à \(C_f\) alors son coefficient directeur \(5\) est un nombre dérivé.
On cherche donc pour quelle(s) valeur(s) de \(x\) on a : \(f '(x) = 5\).
La dérivée de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) est \(f '(x) = 5x^4\).
Pour tous \(x\) de \(\mathbb{R}\),
\(\begin{align*}f '(x) = 5 & \Leftrightarrow 5x^4 = 5 \\ & \Leftrightarrow x^4 -1 = 0 \\ & \Leftrightarrow (x^2 – 1)(x^2 + 1) = 0 \\ & \Leftrightarrow (x – 1)(x + 1)(x^2 + 1) = 0 \\ & \Leftrightarrow x = 1 \quad \mbox{ou} \quad x = -1 \end{align*}\)
(\(x^2 + 1 \neq 0\) pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\).)
A partir de là plusieurs méthode : soit on cherche l'équation de la tangente à \(C_f\) en \(1\) puis en \(-1\), soit on vérifie lequel des deux points \(A(1 ; f(1))\) et \(B(-1;f(-1))\) appartient à \(T\).
\(f(1) = 1\) et \(f(-1) = -1\)
Or \(5\times1 + 4 \neq 1\) mais \(5(-1) + 4 = - 1\), donc \(B \in T\)
Conclusion
On cherche donc pour quelle(s) valeur(s) de \(x\) on a : \(f '(x) = 5\).
La dérivée de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) est \(f '(x) = 5x^4\).
Pour tous \(x\) de \(\mathbb{R}\),
\(\begin{align*}f '(x) = 5 & \Leftrightarrow 5x^4 = 5 \\ & \Leftrightarrow x^4 -1 = 0 \\ & \Leftrightarrow (x^2 – 1)(x^2 + 1) = 0 \\ & \Leftrightarrow (x – 1)(x + 1)(x^2 + 1) = 0 \\ & \Leftrightarrow x = 1 \quad \mbox{ou} \quad x = -1 \end{align*}\)
(\(x^2 + 1 \neq 0\) pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\).)
A partir de là plusieurs méthode : soit on cherche l'équation de la tangente à \(C_f\) en \(1\) puis en \(-1\), soit on vérifie lequel des deux points \(A(1 ; f(1))\) et \(B(-1;f(-1))\) appartient à \(T\).
\(f(1) = 1\) et \(f(-1) = -1\)
Or \(5\times1 + 4 \neq 1\) mais \(5(-1) + 4 = - 1\), donc \(B \in T\)
Conclusion