L'énoncé
Cet exercice est un QCM. Cocher la ou les bonnes réponses.
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Question 1
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = -5x \). Alors :
\(f ' (x) = -5\)
\(f ' (x) = -5x\)
\(f ' (-1) = 0\)
\(f ' (2) = 0\)
\(f\) est une fonction affine.
Quelle est la dérivée de \(f\) ?
Calcule ensuite \(f ‘(-1)\) puis \(f ‘(2)\)
Pour \(x \in \mathbb{R}\), \(f '(x) = - 5\) donc en particulier \(f '(-1) = f '(2) = - 5\)
Question 2
Soit les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = -4\) et \(g(x) = -4x \). Alors :
\(f '(x) = 0\)
\(f '(x) = -4\)
\(g '(x) = 0\)
\(g '(x) = -4\)
De quels types de fonction s'agit-il ?
Quelle est la dérivée d’une fonction constante ?
Et d’une fonction affine ?
Pour tous réels \(x\), \(f '(x) = 0\) car \(f\) est une fonction constante.
Pour tout réel \(x\), \(g '(x) = - 4\)
Question 3
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^{10}\). Alors :
\(f '(x) = 9x^{10}\)
\(f '(x) = 10x^9\)
\(f '(-1) = -10\)
\(f '(-1) = 9\)
Quelle est la dérivée de la fonction \(x\mapsto x^n\) ?
Que vaut \(n\) ici ?
Calcule alors \(f '(x)\) puis \(f '(-1)\).
La dérivée de la fonction \(x\mapsto x^n\) est la fonction \(x\mapsto nx^{n-1}\) et ici \(n = 10\)
\(f\) est une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tous réels \(x\), \(f '(x) = 10x^{10-1}\), soit \(f '(x) = 10x^9\)
Donc, \(f'(-1) = - 10\)
Question 4
Soit \(f\) la fonction définie sur \([0 ; +\infty[\) par \(f(x) = \sqrt{x}\).
La tangente \(T\) à \(C_f\) en \(9\) a pour équation :
\(y = 3x + \dfrac{1}{6}\)
\(y = \dfrac{1}{5}(x – 9) + 3\)
\(y = \dfrac{1}{6}x + \dfrac{3}{2}\)
\(y = \dfrac{1}{6}x + 3\)
Quelle est l’équation de la tangente à une courbe \(C_f\) en \(a\) ?
De quels nombres a t-on besoin pour donner cette équation ?
Calculez-les !
\(T : y = f'(9)(x – 9) + f(9)\)
Calculons alors \(f '(9)\) et pour cela \(f '(x)\).
\(f\) est dérivable sur \(]0 ; +\infty[\) et pour tous réels \(x > 0\), \(f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
On a donc \(f '(9) = d\frac{1}{6}\) et de plus \(f(9) = 3\). Par conséquent \(T : y = \dfrac{1}{6}(x – 9) + 3\), soit \(y = \dfrac{1}{6}x + \dfrac{3}{2}\)
La fonction racine carré a beau être définie sur \([0 ; +\infty[\) elle est dérivable sur \(]0 ; +\infty[\)
Question 5
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\)* par \(f(x) = \dfrac{1}{x}\).
On note \(T\) la tangente à \(C_f\) en \(\dfrac{-1}{3}\). Alors :
\(f '\left(\dfrac{-1}{3}\right) = - 9\)
\(T\) a pour équation \(y = - 9x - 3\)
\(f '\left(\dfrac{-1}{3}\right) = \dfrac{-1}{9}\)
\(T\) a pour équation \(y = \dfrac{-1}{9}x + 3\)
Que vaut \(f '(x)\) ?
En déduire \(f '(\frac{-1}{3})\).
Quelle est l’équation de la tangente à une courbe \(C_f\) en \(a\) ?
De quels nombres a t-on besoin pour donner cette équation ?
Calculez-les !
\(f\) est dérivable sur \(] –\infty ;0[\) et sur \(]0 ; +\infty[\) et pour tout réels \(x\) non nuls, \(f '(x) = \dfrac{-1}{x^2}\).
On a donc \(f '\left(\dfrac{-1}{3}\right) = \dfrac{-1}{(\frac{-1}{3})^2} = - 9\)
Le coefficient directeur de la tangente en \dfrac{-1}{3} est donc \(– 9\) et par conséquent les propositions 4 est impossible. Pour autant la 2 est peut-être fausse !
\(T : y =f '\left(\dfrac{-1}{3}\right)\left(x - \dfrac{-1}{3}\right) +f \left(\dfrac{-1}{3}\right)\)
\(f '\left(\dfrac{-1}{3}\right) = - 9\) et \(f \left(\dfrac{-1}{3}\right) = - 3\)
Donc \(T : y = - 9(x – \dfrac{-1}{3}) - 3\) soit \(T : y = - 9x – 6\)