Fiche de cours
Dérivées usuelles
Définition :
Soient $f$ une fonction définie sur $I$ et $a \in I$,
$f$ est dérivable en $a$ si la limite du taux d'accroissement calculé en $a$ existe et est finie.
$f$ est dérivable sur $I$ si et seulement si $f$ est dérivable pour tout $x \in I$.
On définit alors la fonction dérivée $f'$ qui à tout $x$ associe le nombre dérivé de la fonction $f$ calculé au point $x$.
Exemple :
Considérons la fonction $f(x) = x^2$ définie sur $\mathbb{R}$.
Soit $a \in \mathbb{R}$,
Calculons le taux d'accroissement au point $a$:
$\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} = \dfrac{(a + h)^2 + a^2}{h} = \dfrac{a^2 + 2ah + h^2 - a^2}{h} = \dfrac{2ah +h^2}{h} = 2a + h$
Puis on calcule la limite du taux d'accroissement :
$\lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim \limits_{h \to 0} 2a + h = 2a$.
Or $2a$ est finie, donc $f'(a) = 2a$.
En outre, ce calcul est vrai pour tout $a \in \mathbb{R}$, ainsi, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f'(x) = 2x$.
Il est important de retenir le tableau contenant les dérivées usuelles suivantes qui