1) Soit $u$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $u(x)=-x^2+4x+5$
a) Mettre $u$ sous sa forme canonique.
b) Etudier les variations de $u$ sur $\mathbb{R}$ puis dresser le tableau de variations de $u$.
c) Préciser les éléments caractéristiques de $C$, sa courbe représentative puis représenter $C$, dans un repère bien choisi.
2) Soit $v$ la fonction définie sur $\mathbb{R^*}$ par $v(x)=-\dfrac{18}{x}$
a) Etudier les variations de $v$ sur $]-\infty ;0[$ puis sur $]0 ;+\infty[$.
b) Dresser le tableau de variations de $v$ sur $\mathbb{R^*}$.
3) Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R^*}$ par $f(x)=-x^2+4x+5-\dfrac{18}{x}$
a) Etudier les variations de $f$ sur $]-\infty ;0[$ puis sur $]0 ;2[$.
b) Dresser un tableau de variations sur $]-\infty ;0[ \cup ]0 ;2[$.
c) Peut-on en déduire les variations sur $[2 ;+\infty[$.
1) a)
$u(x)=-( x^2-4x-5)=-(\underline{x^2-4x+4}-4-5)$
$u(x)=-[ \underline{(x-2)^2}-4-5]$
Donc $u(x)=-(x-2)^2+9$
b) Comme $u$ est une fonction du second degré avec $a=-1$ alors on sait que :
- $u$ est croissante sur $\left]-\infty ;-\dfrac{b}{2a}\right]$
- $u$ est décroissante sur $\left[-\dfrac{b}{2a} ;+\infty\right[$
Or ici $-\dfrac{b}{2a}=2 $
Donc $u$ est croissante sur $]-\infty; 2]$ et $u$ est décroissante sur $[2 ;+\infty[$
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c) Préciser les éléments caractéristiques de $C_u$ puis représenter $C_u$ dans un repère bien choisi.
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$C_u$ est une parabole dont les branches sont orientées vers le bas car $a<0$.
Son sommet est le point de coordonnée $(2 ;9)$ et elle admet pour axe de symétrie la droite d’équation $x=2$.
2) a) On sait que la fonction $x \longmapsto \dfrac{1}{x}$ est décroissante sur $]-\infty ;0[$ et sur $]0 ;+\infty[$.
Donc la fonction $x \longmapsto -18 \times \dfrac{1}{x}$ est croissante sur $]-\infty ;0[$ et sur $]0 ;+\infty[$.
$v(x)=-\dfrac{18}{x}$ est donc croissante sur $]-\infty ;0[$ et sur $]0 ;+\infty[$
b)
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3) a) Sur $]-\infty ;0[$ :
- $u$ est croissante d'après la question 1b.
- $v$ est croissante d'après la question 2a.
Donc $f=u+v$ est croissante sur $]-\infty ;0[$.
Sur $]0 ;2[$ :
- $u$ est croissante d'après la question 1b
- $v$ est croissante d'après la question 2a
Donc $f=u+v$ est croissante sur $]0;2[$.
$f$ est donc croissante sur $]-\infty ;0[$ puis sur $]0 ;2[$
b)
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c) $u$ est décroissante sur $[2 ;+\infty[ $ et $v$ est croissante sur $[2 ;+\infty[ $ : le théorème du cours sur la somme ne permet pas de conclure car $u$ et $v$ n’ont pas le même sens de variations sur $[2 ;+\infty[ $.