L'énoncé
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^2 + 2x + 3\).
Question 1
Soit \(a \in \mathbb{R}\) et \(h\) un réel strictement positif. Calculer \(f(a)\) et \(f(a + h)\).
\(f(a + h) = (a + h)^2 + 2(a + h) + 3\) donc
\(f(a + h) = a^2 + 2ah + h^2 + 2a + 2h + 3\)
\(f(a) = a^2 + 2a + 3\)
Pas de difficulté majeure.
Calculez \(f(a)\) et \(f(a + h)\) !
Question 2
Montrer que : \(\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h} = h + 2a + 2\).
Pour \(h\) non nul,
\(\begin{align*}\dfrac{f(a + h) -f(a)}{h} &= \dfrac{a^2 + 2ah + h^2 + 2a + 2h + 3-(a^2 + 2a + 3)}{h}\\ &= \dfrac{a^2 + 2ah + h^2 + 2a + 2h + 3-a^2 - 2a - 3}{h}\\ &= \dfrac{2ah + h^2 + 2h}{h}\\ &= h + 2a + 2 \end{align*}\)
Pas de difficultés ici non plus. Soyez bien rigoureux dans vos calculs ! Attention aux erreurs de signe.
Préciser que \(h\) ne peut être égal à \(0\) !
Question 3
En déduire que la fonction \(f\) est dérivable en \(a\) et donner son nombre dérivé.
Lorsque \(h\) se rapproche de \(0\), \(h + 2a + 2\) se rapproche de \(2a + 2\) qui est un réel fini.
\(f\) est donc dérivable en \(a\) et \(f '(a) = 2a + 2\).
Il suffit de vérifier que lorsque \(h\) se rapproche de \(0\), le taux \(\dfrac{f(a + h) – f(a)}{h}\) se rapproche d'un réel.
Question 4
Donner la valeur de \(f '(1)\).
Pour tout réel \(a\), \(f '(a) = 2a + 2\)
Donc en particulier \(f '(1) = 2 + 2\)
Soit \(f '(1) = 4\).
On connait \(f '(a)\) pour \(a \in \mathbb{R}\) donc il est simple d'avoir \(f '(1)\).
Question 5
En quelle(s) valeur(s) le nombre dérivé de \(f\) est-il nul ?
Pour tout réel \(a\), \(f '(a) = 0 \Leftrightarrow 2a + 2 = 0 \Leftrightarrow a = - 1\)
Le nombre dérivé est donc nul en \(a = - 1\).
Dire que le nombre dérivé est nul signifie que \(f '(a) = 0\).
On cherche \(a\) pour avoir \(f '(a) = 0\).