L'énoncé
Simplifier les expressions suivantes.
Question 1
$\dfrac{e^{x+2}}{e^{x+3}}$.
$\dfrac{e^{x+2}}{e^{x+3}}= e^{x+2}\times e^{-x-3}$
$\dfrac{e^{x+2}}{e^{x+3}}= e^{x+2-x-3}$
$\dfrac{e^{x+2}}{e^{x+3}}=e^{-1}=\dfrac{1}{e}$.
Il faut utiliser la propriété algébrique des exponentielles sur les quotients.
Question 2
$\dfrac{e^{2x}+e^x}{e^{3x}+e^x}$.
$\dfrac{e^{2x}+e^x}{e^{3x}+e^x}= \dfrac{e^x\times e^x +e^x}{e^x\times e^{2x}+e^x}$
$\dfrac{e^{2x}+e^x}{e^{3x}+e^x}=\dfrac{e^x(e^x+1)}{e^x(e^{2x}+1)}$
$\dfrac{e^{2x}+e^x}{e^{3x}+e^x}=\dfrac{e^x+1}{e^{2x}+1}$
$\dfrac{e^{2x}+e^x}{e^{3x}+e^x}=\dfrac{e^x+1}{(e^x)^2+1}$.
Il faut commencer par décomposer les exponentielles et factoriser.
Question 3
$e^{-2x}-e^{-4x}$.
$e^{-2x}-e^{-4x}=\dfrac{1}{e^{2x}}-\dfrac{1}{e^{4x}}$
$e^{-2x}-e^{-4x}=\dfrac{1}{e^{2x}}-\dfrac{1}{e^{2x}\times e^{2x}}$
$e^{-2x}-e^{-4x}=\dfrac{e^{2x}}{e^{4x}}-\dfrac{1}{e^{4x}}$
$e^{-2x}-e^{-4x}=\dfrac{e^{2x}-1}{e^{4x}}$.
Il faut commencer par décomposer les exponentielles et se servir de la propriété sur les quotients.
Question 4
$(e^x+e^{-x})\times e^x$.
$(e^x+e^{-x})\times e^x= (e^x)^2 +e^{-x+x}$
$(e^x+e^{-x})\times e^x=e^{2x}+e^0 $
$(e^x+e^{-x})\times e^x= e^{2x}+1$.
Il ne faut pas oublier la propriété de l’exponentielle quand $x = 0$.
Question 5
$\dfrac{e^6}{e^{2}\times e^4}$.
$\dfrac{e^6}{e^{2}\times e^4}=\dfrac{e^6}{e^{2+4}}$
$\dfrac{e^6}{e^{2}\times e^4}=\dfrac{e^6}{e^6}$
$\dfrac{e^6}{e^{2}\times e^4}=e^{6-6}=e^0=1$.
Cette fois-ci, $x$ est remplacé par un nombre. Il suffit de faire un calcul pour trouver la solution, tout en se servant des propriétés algébriques des exponentielles.