L'énoncé
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = 2xe^{x^2-3}$
$Cf$ est la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé du plan.
$f’$ étant la dérivée de $f$.
Question 1
Compléter le tableau avec les valeurs de $f(x)$ en fonction de $x$ (arrondi au dixième) :
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x |
-2 |
-1,5 |
-1 |
-0,5 |
0 |
0,5 |
1 |
1,5 |
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f(x) |
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x |
-2 |
-1,5 |
-1 |
-0,5 |
0 |
0,5 |
1 |
1,5 |
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f(x) |
-10,9 |
-1,4 |
-0,3 |
-0,1 |
0 |
0,1 |
0,3 |
1,4 |
Question 2
Tracer la courbe $Cf$ en fonction des points obtenus dans le tableau.
Question 3
Montrer que pour tout réel $x$, $f’(x) = (4x^2+2)\times e^{x^2-3}$.
La fonction $f$ est du type $u\times v$ avec $u = 2x$ et $v = e^{x^2-3}$.
Donc sa dérivée est du type $(uv)’ = u’v+uv’$, avec $u’ = 2$ et $v’ = 2xe^{x^2-3}$.
Par conséquent : $f’(x) = 2\times e^{x^2-3} + 2x \times 2xe^{x^2-3}$.
$f’(x) = 2 e^{x^2-3} + 4x^2 e^{x^2-3}$
On factorise par $e^{x^2-3}$ :
$f’(x) = (4x^2 + 2)\times e^{x^2-3}$.
Question 4
En déduire le signe de $f’(x)$ sur $\mathbb{R}$ et les variations de $f$.
$4x^2+2$ est toujours positif sur $\mathbb{R}$ et une fonction exponentielle est toujours positive donc $e^{x^2-3}$ est positive sur $\mathbb{R}$.
$f’(x)$ est positive sur $\mathbb{R}$.
La fonction $f$ est ainsi croissante sur son ensemble de définition.
Question 5
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe $C_f$ représentative de $f$ en $x=0$.
La tracer.
La tangente à $C_f$ en $0$ a pour équation : $T_0 : y= f’(a)(x-a) + f(a)$, avec $a = 0$.
$T_0 : y= f’(0)(x-0) + f(0)$
$T_0 : y= 2e^{-3}x + 0$.
$T_0 : y=2e^{-3}x$.
