L'énoncé
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Question 1
Pour tout $x$ réel, la dérivée de la fonction exponentielle est égale :
A elle-même : $exp'(x) = exp(x)$.
A l'inverse d'elle-même : $exp'(x) = \dfrac{1}{exp(x)}$.
A son opposé : $exp'(x) = -exp(x)$.
Question 2
Que vaut la fonction $f(x) = \dfrac{4}{5} e^{\frac{x}{2}} + 1$ lorsque x = 0 ?
$\dfrac{5}{9}$
$\dfrac{5}{4}$
$\dfrac{9}{5}$
$f(0) = \dfrac{4}{5} e^{\frac{0}{2}} + 1 = \dfrac{4}{5} e^0 + 1 = \dfrac{4}{5}\times 1+1 = \dfrac{9}{5}$
Il faut se servir de la propriété de l'exponentielle en x = 0.
Question 3
La fonction exponentielle est :
Toujours nulle.
Toujours strictement positive.
D'après ses propriétés, la fonction exponentielle est définie sur $\mathbb{R}$ et est strictement positive et croissante sur son domaine de définition.
De signe variable.
Question 4
La tangente en $x = 0$ à la courbe représentative de la fonction exponentielle a pour équation :
$y= x$
$y = x+2$
$y = x+1$
La dérivée de la fonction exponentielle en 0 vaut 1.
Donc, on a : $T_0 : y = f'(0)(x-0) + f(0)$
On obtient alors : $T_0: y = 1 (x-0) + e^0 = x + 1$
L'équation de la tangente d'une courbe en un point correspond à la formule suivante : $T = f'(a)(x-a) + f(a)$, avec a un nombre réel.
Question 5
La dérivée de la fonction composée suivante : $f(x) = exp(2x+3)$ vaut :
$f'(x) = 2exp(2x+3)$.
$f(x)$ est du type exp(ax+b). Donc la dérivée de cette fonction est du type $f'(x) = a\times exp(ax+b)$.
En remplaçant par les valeurs, on obtient : $f'(x) = 2exp(2x+3)$.
$f'(x) = -2exp(2x+3)$.
$f'(x)=2exp(-2x+3)$.
Question 6
Quelle est la limite de la fonction exponentielle quand $x$ tend vers $+\infty$ ?
$+\infty$
C'est une propriété du cours.
$-\infty$
$0$
Question 7
Quelle est la limite de la fonction exponentielle quand $x$ tend vers $-\infty$ ?
$+\infty$
$-\infty$
$0$
C'est une propriété du cours.
Question 8
La fonction exponentielle est définie pour tout $x$ réel par :
$f'(x)=f(x)$ et $f(1)=1$
$f'(x)=-f(x)$ et $f(0)=1$
$f'(x)=f(x)$ et $f(0)=1$
C'est la définition de la fonction exponentielle.
Question 9
Quelle est la dérivée de $f(x)=x \ exp(x)$ ?
$f'(x)=x\ exp(x)$
$f'(x)=(x+1) exp(x)$
Pour tout $x$ réel, on a : $f'(x)=x\ exp(x)$
Cette fonction est de la forme $f=u\times v$.
Posons $u(x)=x$ et $v(x)= exp(x)$
On a ainsi : $u'(x)=1$ et $v'(x)= exp(x)$
On dérive la fonction pour tout $x$ réel :
$f'(x)= exp(x)+x\ exp(x)$. On factorise par $exp(x)$
$f'(x)=(x+1) exp(x)$
$f'(x)=(x-1) exp(x)$
Cette fonction est de la forme $f=u\times v$.
Question 10
Quelle est la dérivée de $f(x)= (-5x+9) \times exp(x)$ ?
$f'(x)= -exp(x)(-5x+9)$
$f'(x)=exp(x)(-5x+4)$
Pour tout $x$ réel, on a : $f(x)= (-5x+9) \times exp(x)$
Cette fonction est de la forme $f=u\times v$.
Posons $u(x)=-5x+9$ et $v(x)= exp(x)$
On a ainsi : $u'(x)=-5$ et $v'(x)= exp(x)$
On dérive la fonction pour tout $x$ réel :
$f'(x)= -5exp(x)+(-5x+9)\ exp(x)$. On factorise par $exp(x)$
$f'(x)=(-5x+4) exp(x)$
$f'(x)= 9\ exp(x)(-5x+9)$
Cette fonction est de la forme $f=u\times v$.
C'est la définition de la fonction exponentielle