Avec un logiciel de géométrie, on exécute le programme ci-dessous.

Programme de construction :

• Construire un carré $ABCD$ ;

• Tracer le cercle de centre $A$ et de rayon $[AC]$ ;

• Placer le point $E$ à l’intersection du cercle et de la demi-droite [$AB$) ;

• Construire un carré $DEFG$.

Figure obtenue :

1. Sur la copie, réaliser la construction avec $AB = 3 $cm.

2. Dans cette question, $AB = 10$ cm.

   a. Montrer que $AC = \sqrt{200}$ cm.

   b. Expliquer pourquoi $AE =\sqrt{200}$ cm.

   c. Montrer que l’aire du carré $DEFG$ est le triple de l’aire du carré $ABCD$.

3. On admet pour cette question que pour n’importe quelle longueur du côté [$AB$], l’aire du carré $DEFG$ est toujours le triple de l’aire du carré $ABCD$.

En exécutant ce programme de construction, on souhaite obtenir un carré $DEFG$ ayant une aire de $48$ cm² .

Quelle longueur $AB$ faut-il choisir au départ ?