L'énoncé
Répondre aux questions suivantes.
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Question 1
Parmi les réponses ci-dessous, la ou lesquelles sont correctes ?
$\forall (a, b) \in \mathbb{R}^2 \; \forall n \in \mathbb{N}, \; (a + b)^n = a^n + b^n$
$\forall (a, b) \in \mathbb{R}^2 \; \forall n \in \mathbb{N}, (a + b)^n = \displaystyle \sum_{k=0}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ n - k \end{array}\right) a^kb^{n-k}$
Aucune des réponses.
On pourra se souvenir d'une formule portant sur les coefficients binomiaux.
Question 2
$\forall (a, b) \in \mathbb{R}^2, (a - b)^3 = $
$a^3-b^3$
$a^3 - a^2b + ab^2 - b^3$
$a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
En effet, $\left ( \begin{array}{c} 3 \\1 \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 3 \\1 \end{array}\right) = 3$
Et en appliquant la formule du binôme on retrouve l'expression précédente.
Appliquer la formule du binôme.
Question 3
$\forall (a, b) \in \mathbb{R}^2, (a + b)^4 = $
$a^4 + b^4$
$a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4$
$a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 8ab^3 + b^4$
$a^4 + 4a^3b + 8a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$
Aucune des réponses
En effet $\left ( \begin{array}{c} 4 \\2 \end{array}\right) = 6$
Donc la réponse est $a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$
Question 4
Quel est le coefficient multiplicateur devant $x^5$ dans le développement de $(x + 3)^8$ ?
56
168
1512
En effet, $(x + 3)^8 = \displaystyle \sum_{k=0}^8 \left ( \begin{array}{c} 8 \\ k \end{array}\right) x^k3^{8-k}$.
On s'intéresse au terme $ \left ( \begin{array}{c} 8 \\ 5 \end{array}\right) x^53^{8-5} = 56 \times 3^3 x^5 = 1512 x^5$
On utilisera la formule du binôme de Newton.
Pour simplifier, on donne : $( \begin{array}{c} 8 \\ 5 \end{array}\right) = 56$.
Question 5
Quel est le coefficient multiplicateur devant $x^3$ dans le développement de $(2x - 4)^4$ ?
-4
-16
-128
On utilise le binôme de Newton :
En effet, $(2x - 4)^4 = \displaystyle \sum_{k=0}^4 \left ( \begin{array}{c} 4 \\ k \end{array}\right) (2x)^k(-4)^{4-k}$.
On s'intéresse au terme $ \left ( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}\right) (2x)^3(-4)^{4-3} = 4 \times (-4)^1 (2x)^3 = -128 x^3$
-256
On utilisera à nouveau le binôme de Newton.
On utilise la propriété des coefficients binomiaux $ \left ( \begin{array}{c} n \\ n \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} n \\ n - k \end{array}\right)$