Fiche de cours
Formule du binôme de Newton
Définition
La formule du binôme de Newton est la suivante :
Pour tout $(a, b) \in \mathbb{K}^2$ (avec $\mathbb{K}$ l'ensemble des réels ou des complexes) et pour tout $n \in \mathbb{N}$:
$(a + b)^n = \displaystyle \sum_{k=0}^n \left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right ) a^kb^{n-k}$.
Une forme développée de l'expression précédente est :
$(a + b)^n = \left ( \begin{array}{c} n \\ 0 \end{array} \right ) a^0b^{n} + \left ( \begin{array}{c} n \\ 1 \end{array} \right ) a^1b^{n-1} + ...+\left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right ) a^kb^{n-k}+...+\left ( \begin{array}{c} n \\ n-1 \end{array} \right ) a^{n-1}b^{1}+\left ( \begin{array}{c} n \\ n \end{array} \right ) a^{n}b^{0}$
Certains termes peuvent être simplifiés. En effet :
$\left ( \begin{array}{c} n \\ 0 \end{array} \right ) = 1$ et $\left ( \begin{array}{c} n \\ 1 \end{array} \right ) = n$.
Ainsi, on réécrit le développement sous la forme :
$(a + b)^n = b^n + n ab^{n-1} + ...+\left ( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right ) a^kb^{n-k}+...+n a^{n-1}b+a^n$.
On pourra alors remarquer que les puissances de $a$ sont croissantes de $1$ en $1$ et que les puissances de $b$ sont décroissantes de $1$ en $1$, de telle sorte que la puissance totale (c'est à dire