Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec{u};\vec{v})$ .

À tout point $M$ d’affixe $z$ du plan, on associe le point $M′$ d’affixe $z ′$ définie par : $z ′ = z^2 +4z +3$.

1. Un point $M$ est dit invariant lorsqu’il est confondu avec le point $M′$ associé.

Démontrer qu’il existe deux points invariants.

Donner l’affixe de chacun de ces points sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle.

2. Soit $A$ le point d’affixe $\dfrac{−3−i\sqrt3}{ 2}$ et $B$ le point d’affixe$\dfrac{−3+i\sqrt3}{ 2}$. Montrer que $OAB$ est un triangle équilatéral.

3. Déterminer l’ensemble $E$ des points $M$ d’affixe $z = x +iy$ où $x$ et $y$ sont réels, tels que le point $M′$ associé soit sur l’axe des réels.

4. Dans le plan complexe, représenter les points $A$ et $B$ ainsi que l’ensemble $E$.