PARTIE A

Dans un jeu vidéo, une suite d’énigmes est proposée au joueur. Ces énigmes sont classées en deux catégories : les énigmes de catégorie A sont les énigmes faciles ; les énigmes de catégorie B sont les énigmes difficiles.

Le choix des énigmes successives est aléatoire et vérifie les conditions suivantes :

•  la première énigme est facile ;

•  si une énigme est facile, la probabilité que la suivante soit difficile est égale à $0,15$ ;

•  si une énigme est difficile, la probabilité que la suivante soit facile est égale à $0,1.$

Pour $n \geq 1,$ on note :

•  $a_n$ la probabilité que l’énigme numéro $n$ soit facile (de catégorie A) :

•  $b_n$ la probabilité que l’énigme numéro $n$ soit difficile (de catégorie B) ;

•  $P_n = (a_n \  b_n)$ l’état probabiliste pour l’énigme numéro $n.$

2) Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B.

3) Écrire la matrice $M$ associée à ce graphe, puis donner la matrice ligne $P2.$

4) Sachant que, pour tout entier $n \geq 1,$ on a : $a_n + b_n = 1,$ montrer que, pour tout entier $n \geq 1,$ on a : $a_{n +1} = 0,75 a_n + 0,1.$