1) 24 étant le PGCD de $a$ et $b$, par définition on a l'existence de 2 entiers $c$ et $d$ tels que :

$a=24c$ ,  $b=24d$   et   $PGCD(c;d)=1$

On a : $PPCM(c;d)=c \times d$ (car $PGCD(u;v) \times PPCM(u;v)=\vert u \times v \vert $)

De plus : $PPCM(a;b)=1344=PPCM(24c;24d)=24 \times PPCM(c;d)$

Donc d'après ce qui précède : $PPCM(a;b)=1344=24 \times c \times d$

Ainsi $c \times d=56$

 

En décomposant 56 en produit de facteurs premiers on obtient : $56=2^3 \times 7$

 

Supposons $c \neq d$ car sinon $a=b$ et l'exercice perd tout son intérêt.

On peut donc supposer que $c>d$

Rappelons nous que $PGCD(c;d)=1$

Cas 1 : $d=1$ donc $c=56$

Alors $a=24$ et $b=1344$

 

Cas 2 : $d=7$ donc $c= 2^3$

Alors $a=168$ et $b=192$

En supposant que $c<d$ deux autres couples apparaissent.

 

2) Soient $a$ et $b$ les deux entiers recherchés.

Notons $m$ leur PPCM et $d$ leur PGCD.

D'après l'énoncé $m-d=187$ (le PPCM est toujours plus grand que le PGCD).

D'après le cours $m \vert d$ et il est évident que $d \vert d$ donc $d \vert 187$.

Or $187=11 \times 17$ donc $d=1$ ou $d=11$ ou $d=17$ ou $d=187$.

 

Choisissons le cas le plus simple : $d=1$

Alors $m=188$ cars $m-d=187$

De plus par définition $a$ et $b$ sont premiers entre eux.

D'après le cours $dm=ab$ donc $ab=188$

Décomposons 188 : $188=2^2 \times 47$

Ainsi le couple $(4;47)$ convient.