L'énoncé
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Question 1
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs avec $b\neq 0$.
On dit que $b$ divise $a$ si et seulement si il existe un entier relatif $k$ tel que :
$b=ka$
$k=ab$
$a=kb$
Question 2
On considère les nombres $-12$ ; $4$ et $-3$
$-12$ divise $4$
$-3$ divise $4$
$-3$ divise $-12$
En effet, $-12 =4\times (-3)$
Question 3
$b$ divise $a$ se note :
$b|a$
C'est une notation à connaître.
$a|b$
$b\div a$
Question 4
Si $a$ divise $b$ et que $b$ divise $c$ (avec $a$ et $b$ non nuls) alors :
$c|a$
$a|c$
En effet, il existe $k$ et $k'$ tels que $b=ka$ et $c=k'b$
On en déduit que $c=k'ka$ et $a|c$
$c|b$ ou $c|a$
Question 5
Soit $a$ non nul. $a$ divise $a$ et $a$ divise $-a.$
Vrai
En effet $a=1\times a$ et $-a=-1\times a$
Faux
Question 6
Soient $a$ un entier relatif et $b$ un entier naturel non nul. La division euclidienne de $a$ par $b$ est l'opération qui au couple $(a;b)$ associe le couple $(q;r)$ tel que :
$a=bq+r$ avec $0<r<b$
$a=bq+r$ avec $0\leq r<b$
C'est une définition
$a=bq+r$ avec $0\leq r\leq b$
$a=br+q$ avec $0\leq r<b$
Question 7
La division euclidienne de $59$ par $3$ est :
$59=20\times 3-1$
$59=19\times 3+2$
Le reste doit vérifier $0\leq r<3$
$59=18\times 3+5$
Question 8
La division euclidienne de $101$ par $5$ est :
$101=20\times 5 +1$
Le reste doit vérifier $0\leq r<5$
$101=21\times 5 -4$
$101=19\times 5 +6$
Question 9
La division euclidienne de $-89$ par $10$ est :
$-89=-8\times 10 -9$
$-89=-8\times 10 +9$
$-89=-9\times 10 +1$
Le reste doit vérifier $0\leq r<10$
Question 10
La division euclidienne de $-231$ par $17$ est
$-231= -14\times 17 + 7$
Le reste doit vérifier $0\leq r<17$
$-231= -13\times 17 -10$
$-231= -14\times 17 +10$
C'est une définition.