L'énoncé
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Question 1
Quelle est la forme générale des solutions de l'équation différentielle $y' = ay$ ?
$e^{ax}$
$Ce^{ax}$ où $C$ est une constante réelle.
$e^{ax} + C$ où $C$ est une constante réelle.
Question 2
Quelle hypothèse doit être faite sur $a$ ?
$a$ doit être non nul.
Il s'agit sinon de trouver une primitive de $y$ ($y' = b$).
$a$ doit être positif.
$a$ doit être un entier.
Question 3
Quelle est la forme générale des solutions de l'équation différentielle $y' = ay + b$ avec $a$ un réel non nul ?
$Ce^{ax}$ où $C$ est un réel.
$e^{ax} - \dfrac{b}{a}$
$Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}$ où $C$ est un réel.
Il s'agit d'une propriété.
Question 4
La démonstration de la forme générale des solutions de l'équation différentielle $y' = ay + b$ est exigible.
Oui
Non
Contrairement à la démonstration de la forme générale de la solution $y' = ay$ qui est à connaître, la démonstration de la forme des solutions de l'équation différentielle $y' = ay + b$ n'est pas à connaître. Cependant, on conseille de la lire.
Question 5
Donner la forme générale des solutions de l'équation différentielle $y' = 3y + 2$.
$y = Ce^{3x}$ où $C$ est une constante réelle.
$y = e^{3x} - \dfrac{2}{3}$
$y = Ce^{3x} - \dfrac{2}{3}$ où $C$ est une constante réelle.
On applique la propriété avec $a = 3$ et $b = 2$.
Question 6
Donner la forme générale des solutions de l'équation différentielle $y' = y - 5$.
$y = Ce^{x} + 5$ où $C$ est une constante réelle.
On applique la propriété du cours avec $a = 1$ et $b=-5$.
$y = Ce^{1x} - \dfrac{-5}{1} = Ce^x + 5$
$y = Ce^{x} - 5$ où $C$ est une constante réelle.
$y = e^{x} + 5$
Question 7
Donner la forme générale des solutions de l'équation différentielle $y' + 3y = 1$.
$y = Ce^{3x} - \dfrac{1}{3}$ où $C$ est une constante réelle.
$y = Ce^{-3x} - \dfrac{1}{3}$ où $C$ est une constante réelle.
$y = Ce^{-3x} + \dfrac{1}{3}$ où $C$ est une constante réelle.
On se ramène au cas du cours. $y' + 3y = 1 \iff y' = -3y + 1$
On applique donc la propriété du cours avec $a = -3$ et $ b = 1$.
Question 8
Donner la forme générale des solutions de l'équation différentielle $y' - 2y = 9$.
$y = Ce^{-2x} + \dfrac{9}{2}$ où $C$ est une constante réelle.
$y = Ce^{2x} - \dfrac{9}{2}$ où $C$ est une constante réelle.
On se ramène au cas du cours.
$y' - 2y = 9 \iff y' = 2y + 9$. On applique donc la propriété avec $a = 2$ et $b = 9$.
$y = Ce^{2x} + \dfrac{9}{2}$ où $C$ est une constante réelle.
Question 9
Si $b = 0$ alors la forme de la solution donnée par la propriété est fausse.
Vrai
Faux
La propriété donne la forme générale des solutions :
$y =Ce^{ax}-\dfrac{b}{a}$.
Si $b = 0$, l'équation se réécrit $y' = ay$ et la solution se réécrit $y =Ce^{ax}$, ce qui est exactement la solution donnée dans le cours sur les équations différentielles de la forme $y' = ay$.
Question 10
Toute équation de la forme $y' = ay + b$ avec $a$ et $b$ non nuls admet toujours une solution.
Oui
La propriété nous dit que l'équation de la forme $y' = ay + b$ avec $a$ et $b$ non nuls admet une solution de la forme $y =Ce^{ax}-\dfrac{b}{a}$.
Non
C'est une propriété démontrée dans une vidéo précédente.