Fiche de cours
Équations différentielles $y' = f(x)$. Non unicité des primitives
Propriété
Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.
En d'autres termes, si $F$ et $G$ sont deux primitives de $f$ sur un intervalle $I$ quelconque, alors
$F = G + C$ où $C$ est une constante, ou encore $F - G = C$.
Démonstration
On pose $H(x) = F(x) - G(x)$ pour $x \in I$
On veut démontrer que $H$ est une constante.
L'idée de la démonstration consiste à dériver $H$ car on connait la dérivée de $F$ et $G$ : $F' = G' = f$ par définition d'une primitive.
Soit $x \in I$,
$H'(x) = F'(x) - G'(x) = f(x) - f(x) = 0$
Or la primitive d'une fonction nulle sur un intervalle est une constate.
Il existe donc $C \in \mathbb{R}$ tel que $H(x) = C$.
On vient donc de montrer que $F(x) - G(x) = C$ où $C$ est une constante réelle.
Exemple
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x$
Ainsi $F(x) = x^2$ est une primitive de $f$.
En outre, $G(x) = x^2 + 3$ est aussi une primitive de $f$.
De même, $H(x) = x^2 - 5$ en est une aussi.
Finalement, toutes les fonctions de la forme $T(x) = x^2 + C$ o&ugrav