L'énoncé
Dériver les fonctions suivantes et déterminer leurs limites aux bornes de l'ensemble de définition.
Question 1
\(f(x) = \dfrac{1}{x} - \ln x\) définie sur \( D = ]0, + \infty[\)
\(f'(x) = -\dfrac{1}{x^2} -\dfrac{1}{x} \)
$f'(x)=\dfrac{-1-x}{x^2}$
\( \lim\limits_{x \to 0} f(x)= + \infty\)
\( \lim\limits_{x \to + \infty} f(x)= -\infty\)
Connaissez-vous la dérivée et la limite de la fonction \(\ln\) ?
Question 2
\(g(x) = \dfrac{\ln(x)}{x}\) sur \( D = ]0, + \infty[\)
\(g'(x) = \dfrac{\frac{1}{x}\times x-\ln(x)}{x^2} = \dfrac{1-\ln (x)}{x^2} \)
\( \lim\limits_{x \to 0^+} g(x)= - \infty\)
D'après le théorème de croissances comparées, on a :
\( \lim\limits_{x \to + \infty} g(x)= 0\)
Connaissez-vous la dérivée et la limite de la fonction \(ln\) ?
Cette fonction se présente sous la forme : \(f(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)}\).
Sa dérivée est donc....
\(f'(x) = \dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}\)
Question 3
\(h(x) = (\ln(x))^3\) sur \( D = ]0, + \infty[\)
\(h'(x) = \dfrac{3(\ln(x))^2}{x} \)
\( \lim\limits_{x \to 0^+} h(x)= - \infty\)
\( \lim\limits_{x \to + \infty} h(x)= +\infty\)
Connaissez-vous la dérivée et la limite de la fonction \(\ln\) ?
\(h(x)\) est de la forme \(h(x) = (u(x))^3\)
Sa dérivée est donc de la forme...
\(h'(x) = 3u'(x)(u(x))^{3-1}\)