L'énoncé
Pour chaque question, il sera proposé trois réponses, dont une seule est juste. Le but étant de se familiariser avec les dérivées faisant intervenir la fonction exponentielle.
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Question 1
Soit $f$ la fonction définie, pour tout $x \in \mathbb{R}$ par
$f(x) = e^{2x + 1}$
Calculer $f'(x)$.
Pour tout $x \in \mathbb{R}$,
$f'(x) = e^{2x + 1}$
Pour tout $x \in \mathbb{R}$,
$f'(x) = 2 e^{2x + 1}$
Pour tout $x \in \mathbb{R}$,
$f'(x) = (2x + 1) e^{2x + 1}$
On pourra poser $u(x) = 2x + 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et se souvenir que $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$.
Soit $x \in \mathbb{R}$,
on pose $u(x) = 2x +1$.
Ainsi, comme $u'(x) = 2$ et que $ f'(x) = u'(x)e^{u(x)} $, on en déduit que :
$f'(x) = 2e^{2x + 1}$
Question 2
Soit $f$ la fonction définie, pour tout $x \in \mathbb{R}$ par
$ f(x) = e^{x^2 + 3x + 1} $
Calculer $f'(x)$.
Pour tout $x \in \mathbb{R}$,
$f'(x) = (5x) e^{x^2 + 3x + 1}$
Pour tout $x \in \mathbb{R}$,
$f'(x) = (2x + 3) e^{x^2 + 3x + 1}$
Pour tout $x \in \mathbb{R}$,
$ f'(x) = (x^2+3x+1)e^{x^2 + 3x + 1} $
Soit $x \in \mathbb{R}$,
on pose $u(x) = x^2 + 3x + 1$.
Ainsi, comme $u'(x) = 2x + 3$ et que $ f'(x) = u'(x)e^{u(x)} $, on en déduit que :
$f'(x) = (2x + 3)e^{2x + 1}$
Question 3
Soit $f$ la fonction définie, pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$ par
$ f(x) = e^{\frac{1}{x}} $
Calculer $f'(x)$.
Pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$,
$ f'(x) = -2 e^{\frac{1}{x}} $
Pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$,
$ f'(x) = \dfrac{-e^{\frac{1}{x}}}{x^2} $
Pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$,
$ f'(x) = \dfrac{e^{\frac{1}{x}}}{x} $
Pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$,
on pose $u(x) = \dfrac{1}{x}$
On a alors $u'(x) = \dfrac{-1}{x^2}$
Ainsi comme $f'(x) = u'(x) e^{u(x)}$
C'est-à -dire $f'(x) = \dfrac{-e^{\frac{1}{x}}}{x^2} $
Question 4
Soit $f$ la fonction définie, pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$ par
$ f(x) = e^{\sqrt{x}} $
Calculer $f'(x)$.
Pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$,
$ f'(x) = \dfrac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} $
Pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$,
$ f'(x) = -\dfrac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} $
Pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$,
$ f'(x) = \dfrac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} $
Pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$,
on pose $u(x) = \sqrt{x}$
On a alors $u'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
Ainsi comme $f'(x) = u'(x) e^{u(x)}$
C'est-à-dire $ f'(x) = \dfrac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} $
Question 5
Soit $f$ la fonction définie, pour tout $x \in \mathbb{R}$ par
$ f(x) = e^{2e^{x}} $
Calculer $f'(x)$.
Pour tout $x \in \mathbb{R}$,
$ f'(x) = 2e^{2e^{x}} $
Pour tout $x \in \mathbb{R}$,
$ f'(x) = 2 e^{x^2 + 2e^{x}} $
Pour tout $x \in \mathbb{R}$,
$ f'(x) = 2 e^{x + 2e^{x}} $
Pour tout $x \in \mathbb{R}$,
on pose $u(x) = 2e^x$
On a alors $u'(x) = 2e^x$
Ainsi comme $f'(x) = u'(x) e^{u(x)}$
C'est-à-dire $ f'(x) = 2 e^{x} \times e^{2e^{x}} $
Or $e^{a + b} = e^a \times e^b$ pour tout $a, b \in \mathbb{R}$
Ainsi $f'(x) = 2 e^{x + 2e^{x}}$