L'énoncé
On considère l'algorithme suivant appelé dichotomie qui permet de trouver les bornes d'un intervalle dans lequel une fonction s'annule :
| Variables |
$a, b, m, h$ sont des nombres $f$ est une fonction |
| Initialisation | Lire $a$ |
| Lire $b$ | |
| Lire $h$ | |
| Traitement | Tant que $b-a > h$ : |
| Affecter à $m$ la valeur $\frac{a+b}{2}$ | |
| Si $f(a) \times f(m) > 0$, alors | |
| Affecter à $a$ la valeur $m$ | |
| Sinon | |
| Affecter à $b$ la valeur $m$ | |
| Fin Si | |
| Fin Tant que | |
| Sortie | Afficher $a$ |
| Afficher $b$ |
Question 1
Modifier cet algorithme avec la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3+x-4$
| Variables |
$a, b, m, h$ sont des nombres |
| Initialisation | Lire $a$ |
| Lire $b$ | |
| Lire $h$ | |
| Traitement | Tant que $b-a > h$ : |
| Affecter à $m$ la valeur $\frac{a+b}{2}$ | |
| Si $(a^3+a-4) \times (m^3+m-4)> 0$, alors | |
| Affecter à $a$ la valeur $m$ | |
| Sinon | |
| Affecter à $b$ la valeur $m$ | |
| Fin Si | |
| Fin Tant que | |
| Sortie | Afficher $a$ |
| Afficher $b$ |
Question 2
Compléter le tableau suivant avec $a=1$ ; $b=2$ et $h= 0,1$
| $a$ | $b$ | $h$ | $b-a > h$ | $m$ | $f(a) \times f(m) > 0$ |
| 1 | 2 | 0,1 | vrai | 1,5 | faux |
| 1 | 1,5 | … | … | … | … |
| … | … | … | … | … | … |
| $a$ | $b$ | $h$ | $b-a > h$ | $m$ | $f(a) \times f(m) > 0$ |
| 1 | 2 | 0,1 | vrai | 1,5 | faux |
| 1 | 1,5 | 0,1 | vrai | 1,25 | Vrai |
| 1,25 | 1,5 | 0,1 | vrai | 1,375 | Vrai |
Question 3
On choisit désormais $h=0,3$
Compléter le tableau
| $a$ | $b$ | $h$ | $b-a > h$ | $m$ | $f(a) \times f(m) > 0$ |
| 1 | 2 | 0,3 | vrai | 1,5 | faux |
| 1 | 1,5 | … | … | … | … |
| … | … | … | … | … | … |
| $a$ | $b$ | $h$ | $b-a > h$ | $m$ | $f(a) \times f(m) > 0$ |
| 1 | 2 | 0,3 | vrai | 1,5 | faux |
| 1 | 1,5 | 0,3 | vrai | 1,25 | Vrai |
| 1,25 | 1,5 | 0,3 | faux | - | - |
Lors de la dernière étape $b-a > h$ donc l'algorithme prend fin et propose l'affichage de $a$ et $b$.
Question 4
Qu'affiche l'algorithme ?
Conclure par une phrase.
L'algorithme affichera les deux dernières valeurs de $a$ et de $b$ :
$a=1,25$
$b=1,5$
Ainsi, la fonction s'annulera sur l'intervalle $[1,25;1,5]$