L'énoncé
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Question 1
On considère la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par : \(u_{n +1}= u_n -1.5+6\) et \(u_0=2\)
Cette suite est :
Arithmétique de raison \(-1.5\).
Arithmétique de raison \(4.5\).
Non arithmétique.
Géométrique.
On peut calculer la somme des deux réels…
Comment montrer qu’une suite est arithmétique ?
On calcule \(u_{n +1}- u_n\).
\(u_{n +1}- u_n = -1.5+6\)
\(u_{n +1}- u_n =+4.5\)
C’ est la définition d’une suite arithmétique de raison \(4.5\).
Question 2
On considère la suite définie pour tout entier \(n\) par : \(1+ u_{n+1}- u_n= -5\) et \( u_0 = 2\)
Cette suite est :
Constante.
Géométrique.
Non arithmétique.
Arithmétique de raison \(-6\).
Comment montrer qu’une suite est arithmétique ?
On calcule \(u_{n +1}- u_n\).
On a :
\(1+ u_{n+1}- u_n= -5\)
\(\Leftrightarrow\) \(u_{n+1}- u_n = -5 -1\)
\(\Leftrightarrow\) \(u_{n+1}- u_n = -6\)
Ceci est la définition d’une suite arithmétique de raison \(-6\). Le premier terme vaut \(u_0 = 2\).
Question 3
On considère la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par : \(u_n= -4n+7\)
On a :
\((u_n)\) est géométrique.
\((u_n)\) n’est ni arithmétique, ni géométrique.
\((u_n)\) est arithmétique de raison \( -4\).
\((u_n)\) est arithmétique de premier terme \(7\).
Comment montrer qu’une suite est arithmétique ?
On calcule \(u_{n +1}- u_n\).
On a :
\(u_{n +1}- u_n = -4(n+1)+7-(-4n+7)\)
\(\Leftrightarrow\) \(u_{n +1}- u_n=-4n-4+7+4n-7\)
\(\Leftrightarrow\) \(u_{n +1}- u_n=-4 \)
Ce nombre étant constant, il s’agit donc d’une suite arithmétique de raison \(-4\).
De plus, \(u_n=7+( -4n)\) donc lorsque \(n=0\), \(u_0 = 7-4\times0 = 7\)
\((u_n)\) est arithmétique de premier terme \(7\).
Question 4
On considère la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par : \(u_n= -3n^2+5.\)
On a :
\((u_n)\) n’est pas arithmétique.
\((u_n)\) est arithmétique.
\((u_n)\) est arithmétique de raison \(-3\).
\((u_n)\) est arithmétique de premier terme \(5\).
Comment montrer qu’une suite est arithmétique ?
On calcule \(u_{n +1}- u_n\).
On a : \(u_{n +1}- u_n= -3(n+1)^2+5-(-3n^2+5)\)
\(\Leftrightarrow\) \(u_{n +1}- u_n=-3(n^2+2n+1)+5+3n^2-5\)
\(\Leftrightarrow\) \(u_{n +1}- u_n=-6n-3\)
\(u_{n +1}- u_n\) n’est pas constant donc \((u_n) \) n’est pas une suite arithmétique.
Question 5
On considère la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par : \(u_n= -4(-n+2)\).
On a :
\((u_n)\) n’est pas arithmétique.
\((u_n)\) est arithmétique.
\((u_n\)) est arithmétique de raison \(4\).
\((u_n)\) est arithmétique de premier terme \(2\).
Il faut toujours penser à développer ce type d’expression :
\(u_n= -4(-n+2)\)
\(\Leftrightarrow\) \(u_n= 4n-8\)
On a : \(u_{n +1}- u_n = 4(n+1)-8-(4n-8)\)
\(\Leftrightarrow\) \(u_{n +1}- u_n=4n+4-8-4n+8\)
\(\Leftrightarrow\) \(u_{n +1}- u_n=4 \)
Il s'agit bien d'une suite arithmétique de raison \(4\). Le premier terme de la suite vaut \(-8\).