L'énoncé
Cocher la bonne réponse.
Tu as obtenu le score de
Question 1
Soit $P_n$ : "Pour tout $n\in \mathbb{N^*}, 1+2+3+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$"
$P_n$ est une proposition donc vraie ou fausse
$P_n$ est un nombre que l'on peut calculer
$P_n$ est un raisonnement par récurrence
Question 2
Soit $P_n$ : "Pour tout $n\in \mathbb{N^*}, 1+2+3+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$"
Que signifie vérifier l'initialisation de cette proposition ?
Calculer $P_0$
Vérifier que $P_1$ est vraie
Calculer $P_1$
Vérifier que $P_0$ est vraie
Question 3
Soit $P_n$ : "Pour tout $n\in \mathbb{N^*}, 1+2+3+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$"
Quel est le principe de l'hérédité ?
On suppose que $P_1$ est vraie et on montre que $P_n$ est vraie pour $n$ fixé.
On suppose que $P_1$ est vraie et on montre que $P_{n+1}$ est vraie pour $n$ fixé.
On suppose que $P_n$ est vraie et on montre que $P_{n+1}$ est vraie pour $n$ fixé.
C'est le principe fondamental du raisonnement par récurrence.
Question 4
Soit $P_n$ : "Pour tout $n\in \mathbb{N^*}, 1+2+3+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$"
Pour démontrer que $P_{n+1}$ est vraie, il faut montrer que :
$1+2+3+...+n+n+1=\dfrac{n(n+1)}{2}$
$1+2+3+...+n+n+1=\dfrac{(n+1)(n+3)}{2}$
$1+2+3+...+n+n+1=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$
$n+1+1=n+2$
Question 5
Soit $T_n$ : "Pour tout $n\in \mathbb{N^*}, 1^2+2^2+3^2+...+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$"
Pour démontrer que $T_{n+1}$ est vraie, il faut montrer que :
$1^2+2^2+3^2+...+n^2+(n+1)^2=\dfrac{(n+1)(n+2)(2n+2)}{6}$
$1^2+2^2+3^2+...+n^2+(n+1)^2=\dfrac{(n+1)(n+2)(2n+4)}{6}$
$1^2+2^2+3^2+...+n^2+(n+1)^2=\dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$
En effet : $2(n+1)+1=2n+3$
Question 6
Soit $R_n$ la proposition : "Pour tout entier naturel $n$, $7^n-1$ est divisible par $6$".
Pour démontrer que $R_{n+1}$ est vraie, il faut montrer que :
$7^n+1-1$ est divisible par $6$
$7^{n+1}-1$ est divisible par $6$
Seul l'exposant change
$7^n-1$ est divisible par $7$
Question 7
Soit $P_n$ la proposition : "Pour tout entier naturel $n$, $3^{2n}-1$ est un multiplie de $8$".
Pour démontrer que $P_{n+1}$ est vraie, il faut montrer que :
$3^{2n+1}-1$ est un multiplie de $8$
$3^{2n}+1-1$ est un multiplie de $8$
$3^{2n+2}-1$ est un multiplie de $8$
$2(n+1)=2n+2$
Question 8
Soit $Q_n$ la proposition : "Pour tout entier naturel $n\geq 4$, $2^n\geq n^2$".
Pour démontrer que $Q_{n+1}$ est vraie, il faut montrer que :
$2^{n+1}\geq (n+1)^2$
On remplace juste $n$ par $n+1$
$2^n+1\geq (n+1)^2$
$2^n+1\geq n^2+1^2$
Question 9
Soit $R_n$ la proposition : "Pour tout entier naturel $n$, $3^{2n}-2^n$ est divisible par $7$".
Pour démontrer que $R_{n+1}$ est vraie, il faut montrer que :
$3^{2n+2}-2^{n+1}$ est divisible par $7$
$2(n+1)=2n+2$
$3^{2n+1}-2^{n+1}$ est divisible par $7$
$3^{2n+2}-2^{n}$ est divisible par $7$
$3^{2n+1}-2^{n}$ est divisible par $7$
Question 10
Soit $T_n$ la proposition : "Pour tout $n\geq2$ , $n$ est divisible par au moins un nombre premier"
Pour démontrer que $T_{n+1}$ est vraie, il faut montrer que :
$n$ est divisible par au moins deux nombres premiers
$n+1$ est divisible par au moins un nombre premier
L'expression "au moins un nombre premier" ne dépend pas de $n$.
$n+1$ est divisible par au moins deux nombres premiers
On précise que $n$ est non nul.