Fiche de cours
Equations différentielles $y' = ay + b$
Propriété
Soient $a$ et $b$ deux réels non nuls,
Les solutions de l'équation différentielle $y' = ay + b$ sont de la forme :
$f(x) =Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}$, avec $C$ une constante réelle.
La démonstration n'est pas à connaitre mais l'esprit de la preuve est intéressant.
Démonstration :
On commence par montrer que les fonctions de la forme $ f(x) = Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}$ avec $C$ une constante réelle, sont solutions.
Tout d'abord, $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
Soit $x \in \mathbb{R}$,
$f'(x) = aCe^{ax}$.
En outre,
$af(x) + b = aCe^{ax} - b + b = aCe^{ax} = f'(x)$.
Donc $f$ est bien solution de l'équation différentielle.
Réciproquement, on souhaite montrer que les fonctions solutions de l'équation différentielles $y' = ay + b$ sont de la forme $Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}$, avec $C$ une constante réelle.
On commence tout d'abord par montrer que la fonction $g(x) = -\dfrac{b}{a}$ est solution de l'équation différentielle.
En effet,
$g'(x) = 0$ et $ag(x) + b = -b + b = 0$.
Donc $g'(x) = ag(x) + b$.
Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$,<