L'énoncé
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Question 1
Quelles sont les solutions de l'équation différentielle $y' = ay$, $a \in \mathbb{R}$ ?
$e^{ax} + C$ où $C$ est une constante réelle.
$Ce^{ax}$ où $C$ est une constante réelle.
$Ce^{ax} + k$ où $C$ et $k$ sont des constantes réelles.
Question 2
Il faut refaire à chaque fois la démonstration de la propriété.
Vrai
Faux
En effet, la propriété a été démontrée en cours et peut à présent être appliquée directement.
Question 3
Comment démontre-t-on cette propriété ?
En raisonnant dans le sens direct puis indirect.
On montre d'abord que $f$ est solution puis on cherche la forme d'une solution.
On admet cette propriété.
En dérivant simplement la fonction $f$ donnée.
Cela montre seulement que $f$ est solution mais pas que toutes les solutions sont de cette forme.
Question 4
Quelle est la première étape de la démonstration ?
On intègre l'équation différentielle.
On raisonne par l'absurde.
On montre que $f$ est solution de l'équation différentielle.
C'est la première étape : c'est le sens direct.
Question 5
Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$, que faut la dérivée de $e^u$ ?
$e^{u'}$
$ue^{u}$
$u'e^{u}$
Cela démontre en utilisant les propriétés de dérivation d'une fonction composée.
Question 6
En quoi consiste la deuxième étape de la démonstration ?
On regarde le sens réciproque.
On montre à présent qu'une solution est forcément de la forme $Ce^{ax}$.
On montre que $f$ est bien solution de l'équation.
On montre qu'il existe des solutions différentes à l'équation différentielle.
Question 7
Quelle hypothèse doit être faite pour trouver la forme de $f$ ?
$f$ doit être positive.
$f$ doit être non nulle.
En prenant $C$ égal à 0, on remarque donc que $f$ est de la forme $0 \times e^{ax}$ si $f$ est nulle.
Si $f$ est non nulle, on peut alors diviser par $f$.
$f$ ne doit pas être constante.
Question 8
Quelle est l'étape majeure de la seconde partie de la démonstration ?
La dérivation.
La composition.
L'intégration.
En effet, comme $f$ est solution, alors $f' = a f$ c'est à dire $\dfrac{f'}{f} = a$. On intègre alors cette équation car on reconnaît dans le terme de gauche la dérivée de $\ln \big|f(x) \big|$.
Question 9
Donner une primitive de $\dfrac{f'(x)}{f(x)}.$
$\ln(f(x))$
$\ln \big|f(x) \big|$
En effet, une primitive de $\dfrac{f'(x)}{f(x)}$ est $ \ln \big|f(x) \big|$. L'usage de la valeur absolue provient du fait que le logarithme n'est défini que sur les réels positifs.
$e^{f(x)}$
Question 10
Donner les solutions de l'équation $2y' - y = 0$.
$e^{x}$
$e^{\frac{x}{2}}$
$Ce^{\frac{x}{2}}$
On applique pour cela la propriété du cours. Ainsi, $2y'-y = 0 \iff y' = \dfrac{y}{2}$
Les solutions sont donc de la forme $Ce^{\frac{x}{2}}$, avec $C$ un nombre réel.
C'est une propriété