Fiche de cours
Orthogonalité
I) Orthogonalité de deux droites dans l'espace
Propriété :
Soient $(D)$ et $(D')$ deux droites de vecteurs directeurs $\overrightarrow{d}$ et $\overrightarrow{d'}$,
$(D)$ est orthogonale à $(D')$ si et seulement si :
$\overrightarrow{d}.\overrightarrow{d'}=0$
Remarque :
Dans l'espace, on utilise le terme orthogonal lorsque le produit scalaire de deux droites est nul.
Le terme perpendiculaire est utilisé lorsque deux droites sont orthogonales et sécantes, c'est à dire qu'elles sont orthogonales et coplanaires.
Exemple :
On considère deux droites $(D)$ et $(D')$ de représentations paramétriques :
$(D)\left \{ \begin{array}{l} x = 1 - 3t \\ y = 2t \\ z = 4 - t \end{array} \right. (t \in \mathbb{R})$
et $(D')\left \{ \begin{array}{l} x = t \\ y = 2+ 2t \\ z = -5t - 1 \end{array} \right. (t \in \mathbb{R})$
$(D)$ et $(D')$ sont-elles orthogonales ?
La première étape consiste à déterminer les vecteurs directeurs des deux droites.
Pour rappel, il s'agit des coefficients multiplicateurs de la variable, (ici c'est le réel $t$).
Ainsi, $\overrightarrow{d} \left ( \begin{array}{c} -3 \\ 2 \\ -1 \end