Partie A

Soit $u$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $u(x) = \ln(x)+ x −3$.

1. Justifier que la fonction $u$ est strictement croissante sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.

2. Démontrer que l’équation $u(x) = 0$ admet une unique solution $α$ comprise entre $2$ et $3$.

3. En déduire le signe de $u(x)$ en fonction de $x$.

Partie B

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ par $f (x) = \left(1-\dfrac{1}{x}\right) [\ln(x)−2]+2$. On appelle $C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$.

2. a. Démontrer que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0 ; +\infty[, f ′ (x) = \dfrac{u(x)}{x^2}$ où $u$ est la fonction définie dans la partie A.

    b. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.

Partie C

Soit $C′$ la courbe d’équation $y = \ln(x)$.

1. Démontrer que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0 ; +\infty[, f (x)−\ln(x) = \dfrac{2−\ln(x)}{x}$ . En déduire que les courbes $C$ et $C'$ ont un seul point commun dont on déterminera les coordonnées.

2. On admet que la fonction $H$ définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ par $H(x) = \dfrac{1}{2}[\ln(x)]^2$ est une primitive de la fonction $h$ définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty[ $par $h(x) = \dfrac{\ln(x)}{x}$ .

Calculer $I = \displaystyle\int_1^{e^2}\dfrac{2−\ln(x)}{x} dx$. Interpréter graphiquement ce résultat.